Олимпиадная подготовка по электростатике – 2

Ну вот и дошли до электростатики в решении задач для подготовки к олимпиадам! Статьи подходят и для десятиклассников, и для одиннадцатиклассников.

Задача 4.

Два тонких проволочных кольца имеют общую ось и расположены на некотором расстоянии друг от друга. Кольца заряжены одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами. Для пролета вдоль прямой, проходящей через центры колец перпендикулярно их плоскости, заряженной частице на большом удалении от колец необходима минимальная скорость $\upsilon_0$.

Пусть скорость частицы вдали от колец равна $\upsilon_1$ ($ \upsilon_1> \upsilon_0$). Каким будет отношение максимальной скорости частицы к минимальной во время полета?

К задаче 4

Решение. Частице должно хватить ее кинетической энергии, чтобы она могла подлететь к самому центру первого кольца. Далее частицу «подхватит» и после прохождения первого кольца она начнет набирать скорость вплоть до центра второго кольца. Потенциал в точке 1 – потенциал в точке 1 от кольца 1 плюс потенциал в точке 1 от кольца 2.

$$\varphi_1=\frac{kq}{R}+\frac{-kq}{x}=\frac{kq}{R}+\frac{-kq}{\sqrt{R^2+a^2}}$$

Тогда

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{kqQ}{R}+\frac{-kqQ}{\sqrt{R^2+a^2}}$$

К задаче 4

Если скорость частицы $\upsilon_1$, то ЗСЭ для нее будет выглядеть так:

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{m\upsilon_{min}^2}{2}+\frac{kqQ}{R}+\frac{-kqQ}{\sqrt{R^2+a^2}}$$

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{m\upsilon_{max}^2}{2}-\frac{kqQ}{R}-\frac{-kqQ}{\sqrt{R^2+a^2}}$$

Или

$$\upsilon_1^2=\upsilon_{min}^2+\upsilon_0^2$$

$$\upsilon_1^2=\upsilon_{max}^2-\upsilon_0^2$$

Теперь найдем отношение скоростей:

$$\frac{\upsilon_{max}}{\upsilon_{min}}=\sqrt{\frac{\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}{\upsilon_1^2+\upsilon_0^2}}$$

Ответ: $\frac{\upsilon_{max}}{\upsilon_{min}}=\sqrt{\frac{\upsilon_1^2-\upsilon_0^2}{\upsilon_1^2+\upsilon_0^2}}$

Задача 5.

Внутри проводящей сферы радиусом $R$, несущей заряд $Q$, на расстоянии $\frac{R}{2}$ от её центра О находится точечный заряд $q$ (рисунок). Найдите потенциал $\varphi$ в точке М. Точка М, центр сферы О и заряд $q$ лежат на одной прямой. Найдите заряды внутренней и внешней поверхностей сферы. Распределён ли заряд на внутренней поверхности равномерно или неравномерно? А на внешней? Качественно изобразите вид силовых линий электрического поля.

К задаче 5

Решение.

Так как заряд расположен несимметрично (не в центре сферы), то на ее внутренней поверхности будут индуцированы отрицательные заряды, и тоже несимметрично: на стороне сферы, которая ближе к заряду, они будут расположены гуще, на противоположной стороне - реже. Это подтверждается и густотой силовых линий поля.

Картина силовых линий

На внешней поверхности сферы, соответственно, будут индуцированы заряды положительные, сумма которых равна сумме индуцированных отрицательных зарядов на ее внутренней стороне и равна $q$, да еще к этому добавится заряд сферы $Q$. Эти заряды будут распределены равномерно. Такая сфера идентична точечному заряду $q$, потенциал в точке $M$

$$\varphi_M=\frac{k(q+Q)}{3R}$$

Ответ: $\varphi_M=\frac{k(q+Q)}{3R}$

Задача 6.

В вакууме находятся три тонкие концентрические металлические сферы радиусами $R$, $2R$ и $4R$. Первая и третья сферы не заряжены, а второй сообщен заряд $q$. Найти потенциал второй сферы после соединения первой и третьей тонким изолированным проводом через небольшое отверстие во второй сфере. Какое количество теплоты выделится в этом проводе?

Решение. Проводник обладает свойством иметь одинаковый потенциал в любой точке поверхности. Когда два проводника соединили, то получили большой единый проводник. Значит, после соединения потенциалы первой и третьей сфер одинаковы:

$$\varphi_1’=\varphi_3’$$

Первоначальные заряды сфер равны нулю, значит, если на внутренней сфере возник заряд $Q$, то на внешней $-Q$ - это следует из закона сохранения заряда. И наша задача найти этот заряд.

$$q_1’+q_3’=0$$

Каждый потенциал будет состоять из трех слагаемых:

$$\varphi_1’=\frac{kQ}{R}+\frac{kq}{2R}-\frac{kQ}{4R}$$

Каждое слагаемое – потенциал, создаваемый каждой отдельной сферой.

$$\varphi_3’=\frac{k(Q+q-Q)}{4R}=\frac{kq}{4R}$$

Так как это самая внешняя сфера, то потенциал такой, как если бы внутри у нее находились три точечных заряда.

Приравниваем:

$$\frac{kQ}{R}+\frac{kq}{2R}-\frac{kQ}{4R}=\frac{kq}{4R}$$

$$\frac{3kQ}{4R}+\frac{kq}{4R}=0$$

$$3Q=-q$$

$$Q=-\frac{q}{3}$$

То есть мы не угадали и у внутренней сферы отрицательный заряд. Теперь ищем потенциал второй сферы:

$$\varphi_2’=-\frac{\frac{kq}{3}}{2R}+\frac{kq}{2R}+\frac{\frac{kq}{3}}{4R}$$

$$\varphi_2’=-\frac{kq}{R}\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\right)=\frac{5}{12}\cdot\frac{kq}{R}$$

Выделившееся количество теплоты равно разности энергий вначале и в конце:

$$\tilde{Q}=W_1-W_2$$

Энергия проводника

$$W=\frac{q\varphi}{2}$$

Энергия системы равна сумме энергий трех тел:

$$W_1=0+\frac{q\cdot \frac{kq}{2R}}{2}+0=\frac{kq^2}{4R}$$

В конце энергия этих же трех тел

$$W_2=-\frac{q}{3}\cdot\frac{\varphi_1’}{2}+\frac{q\varphi_2’}{2}+\frac{\frac{q}{3}\varphi_3’}{2}$$

Первое и последнее слагаемые равны по модулю.

$$W_2=\frac{q}{2}\cdot \frac{5}{12}\cdot\frac{kq}{R}=\frac{5}{24}\cdot\frac{kq^2}{R}$$

$$\tilde{Q}= W_1-W_2=\frac{6kq^2}{24R}-\frac{5kq^2}{24R}=\frac{kq^2}{24R}$$

Ответ: $\varphi_2’=\frac{5}{12}\cdot\frac{kq}{R}$, $\tilde{Q}=\frac{kq^2}{24R}$.