Задачи Сириуса на напряженность поля

Задача 1.

Две заряженные частицы имели первоначально одинаковые по величине и направлению скорости. После того, как на некоторое время было включено однородное электростатическое поле, вектор скорости одной частицы повернулся на $60^{\circ}$, а численное значение скорости уменьшилось вдвое. Вектор скорости другой частицы повернулся на $90^{\circ}$. Найдите отношение модуля конечной скорости второй частицы к модулю её начальной скорости. Ответ округлите до сотых.

Решение. Так как поле по-разному повлияло на частицы, то очевидно, что сами частицы – разные. У них, предположительно, массы отличаются.

Обе частицы приобрели перпендикулярную первоначальной составляющую скорости, а вторая даже утратила первоначальную, продольную, составляющую. У первой же частицы от первоначальной скорости $\upsilon_0$ осталась только $\frac{\upsilon_0}{4}$ (рис.).

Рисунок к задаче 1

Так как у первой же частицы от первоначальной скорости $\upsilon_0$ осталась только $\frac{\upsilon_0}{4}$, то есть в продольном направлении скорость уменьшилась на три четверти, а у второй частицы – на 4 четверти, то я делаю вывод, что масса второй частицы меньше, чем у первой. Например, если масса первой $4m$, то масса второй $3m$. Тогда, если первая частица приобрела перпендикулярную составляющую скорости $\frac{\sqrt{3}}{2}\upsilon_1= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\upsilon_0}{2}$, то вторая приобретет большую перпендикулярную составляющую:

$$\upsilon_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\upsilon_0\cdot \frac{m_1}{m_2}=0,577\upsilon_0$$

Искомое отношение

$$\frac{\upsilon_2}{\upsilon_0}=0,58$$

Ответ: 0,58.

Задача 2.

Три одинаковых положительных заряда величиной 1 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Сторона треугольника равна $r=1$ м. Найдите модуль напряжённости поля в вершине правильного тетраэдра, построенного на этом треугольнике. Ответ выразите в Н/Кл, округлив до целого числа. 

Решение. Картина расположения векторов напряженности симметричная, они будут направлены вдоль ребер тетраэдра. Каждый из них наклонен к горизонтали на такой же угол, как боковое ребро тетраэдра – к плоскости основания. Каждый из векторов напряженности $E_1, E_2, E_3$ можно разложить на две составляющие – одна лежит в плоскости, параллельной плоскости основания (фиолетовым на рисунке), вторая перпендикулярна ей (зеленым на рисунке). Первые три горизонтальные составляющие в сумме дадут ноль. Три перпендикулярные составляющие сложатся – их сумму мы как раз и ищем.

Рисунок к задаче 2

Сначала найдем напряженности, создаваемые зарядами в вершине тетраэдра:

$$E_1=E_2=E_3=\frac{kq}{r^2}$$

Теперь определим угол, под которым боковое ребро наклонено к вертикали. Для этого проведем высоту тетраэдра и рассмотрим треугольник $SOK$. Отрезок $OK$ - две трети медианы треугольника основания, так как точка О – точка пересечения медиан основания.

$$H=\frac{r\sqrt{3}}{2}$$

$$OK=\frac{2}{3}\cdot \frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{\sqrt{3}}$$

Уже достаточно, чтобы найти синус угла $KSO$:

$$\sin KSO=\frac{OK}{KS}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Определим косинус через основное тригонометрическое тождество:

$$\cos KSO=\sqrt{1-\sin^2 KSO }=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Вертикальная составляющая векторов напряженности равна

$$E_{1_{perp}}= E_{2_{perp}}= E_{3_{perp}}=E_1\cos KSO=\frac{kq}{r^2}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Ну и так как все три перпендикулярные составляющие сложатся, то в итоге расчетная формула такая:

$$E_{versh}= E_{1_{perp}}+E_{2_{perp}}+E_{3_{perp}}=3E_{1_{perp}}=\frac{kq}{r^2}\cdot \sqrt{6}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}}{1^2}\cdot \sqrt{6}=22$$

Ответ: 22 Н/Кл

Задача 3.

Положительные точечные заряды 2 мкКл и 5 мкКл, находящиеся в вакууме, действуют друг на друга с силой 0,25 Н. Определите модуль напряжённости поля в точке, расположенной посередине между зарядами. Ответ выразите в кН/Кл, округлив до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н⋅м$^2$/Кл$^2$.

Решение. По известной силе взаимодействия зарядов определим расстояние между ними:

$$F=\frac{kq_1q_2}{r^2}$$

$$r^2=\frac{ kq_1q_2}{F}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{-6}}{0,25}=\frac{0,09}{0,25}=0,36$$

Теперь можно найти напряженность поля посередине:

$$E=E_2-E_1=\frac{kq_2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{kq_1}{\frac{r^2}{4}}=\frac{4k}{r^2}(q_2-q_1)=\frac{4\cdot 9\cdot 10^9\cdot 3\cdot 10^{-6}}{0,36}=300\cdot 10^3$$

Ответ: 300 кН/Кл

Задача 4.

В трёх вершинах квадрата расположены одинаковые точечные заряды. Найдите отношение $\frac{E_O}{E_A}$ модулей напряжённостей электрического поля в центре O квадрата и в его вершине A, свободной от заряда. Ответ округлите до сотых.

Решение.

В центре напряженности, создаваемые зарядами, все одинаковы, так как центр равноудален от вершин. Поэтому $E_B$ и $E_D$ «убьют» друг друга, и

$$E_O=E_C=\frac{kq}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{2kq}{a^2}$$

Где $a$ - сторона квадрата, $a\sqrt{2}$ - длина его диагонали.

Рисунок к задаче 4

В точке А напряженности уже не равны – ведь расстояние от нее до точки С больше, чем от А до B и D.

$$ E_{D1}=E_{B1}=\frac{kq}{a^2}$$

$$ E_{C1}=\frac{kq}{\left(a\sqrt{2}\right)^2}$$

На рисунке проекции напряженностей $ E_{D1}$ и $E_{B1}$, перпендикулярные прямой $OC$, «убьют» друг друга, останутся только параллельные $OC$ составляющие. Поэтому

$$E_A= E_{C1}+ E_{D1}\cos 45^{\circ}+E_{B1}\cos 45^{\circ}=\frac{kq}{2a^2}+2\cdot \frac{kq}{a^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{kq}{a^2}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)$$

Определяем искомое отношение:

$$\frac{E_O}{E_A}=\frac{2}{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)}=1,044$$

Ответ: 1,04