Задачи Сириуса на напряженность поля - 2

Задача 1.

На одной силовой линии поля точечного заряда лежат точки A и B. В точках A и B величины напряжённости поля равны 25 Н/Кл и 9 Н/Кл соответственно. Найдите напряжённость в точке C, лежащей посередине между точками A и B. Ответ выразите в Н/Кл, округлив до целого числа.

Решение. Запишем напряженности, при этом пусть точка $A$ находится на расстоянии $x$ от источника поля, а точка $B$ - на расстоянии $y$. Тогда

$$E_A=\frac{kq}{x^2}$$

$$E_B=\frac{kq}{y^2}$$

Нам надо найти следующее:

$$E=\frac{kq}{\left(\frac{y+x}{2}\right)^2}=\frac{4kq}{(x+y)^2}$$

Выражаем $x$ и $y$ из двух первых равенств и получаем:

$$x^2=\frac{kq}{E_A}$$

$$y^2=\frac{kq}{E_B}$$

$$2xy=\frac{2kq}{\sqrt{E_A\cdot E_B}}$$

Подставляем в выражение для $E$:

$$ E=\frac{4E_A\cdot E_B}{(\sqrt{E_A}+\sqrt{E_B})^2}=\frac{4\cdot 25\cdot 9}{(5+3)^2}=\frac{225}{16}=14$$

Ответ: 14 Н/Кл

Задача 2.

Два точечных заряда $+q_1$ и $−q_2$ противоположных знаков расположены в вакууме соответственно в точках $M_1$ и $M_2$. Если в точке $M_2$ восстановить перпендикуляр к отрезку $M_1M_2$, то в некоторой точке $M$ он пересечётся с силовой линией, проходящей через эту точку, под прямым углом. Известно отношение $\frac{MM_1}{MM_2}=2$. Найдите отношение $\frac{q_1}{q_2}$. Ответ округлите до целого числа.

Решение. Вектор напряженности поля – касательная к силовой линии. Поэтому, так как силовая линия перпендикулярна $MM_2$, то вектор напряженности параллелен $M_1M_2$. Так как известно отношение $\frac{MM_1}{MM_2}=2$, то угол $MM_1M_2=30^{\circ}$. Вектор напряженности поля, создаваемый зарядом в точке $M_1$, направлен вдоль $MM_1$, вектор напряженности поля, создаваемый зарядом в точке $M_2$, направлен по линии $M_2M$. Сумма этих двух векторов оказалась направлена горизонтально (мы это выше выяснили), угол между  этими векторами $150^{\circ}$. Значит, $E_1=2E_2$.

Рисунок к задаче 2

$$E_2=E=\frac{kq_2}{x^2}$$

$$E_1=2E=\frac{kq_1}{4x^2}$$

Или:

$$2\cdot \frac{kq_2}{x^2}=\frac{kq_1}{4x^2}$$

$$2 q_2=\frac{q_1}{4}$$

$$\frac{q_1}{q_2}=8$$

Ответ: 8

Задача 3.

На рисунке представлена картина силовых линий электростатического поля, созданного двумя равномерно заряженными концентрическими сферами. Заряд внутренней сферы равен $q_1$, а внешней сферы — $q_2$. Найдите модуль отношения зарядов $\mid \frac{q2}{q1}\mid$. Ответ округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 3

Решение. Рисунок – с Сириуса, им принадлежат права как на задачи, так и на этот рисунок. Я лишь предлагаю решение.

Посчитаем силовые линии на рисунке и обратим внимание на их направления, ведь известно, что величина заряда и количество силовых линий пропорциональны.

Между сферами линий 12, вне сфер – 24, и направлены они к внешней сфере. Видимо, заряд внешней сферы отрицателен. Между сферами векторы напряженности направлены от малой сферы к внешней, значит, заряд внутренней сферы положителен. Этот положительный заряд вызовет скопление отрицательных зарядов, дающих по модулю такой же заряд, как и на малой сфере, на внутренней поверхности большой сферы. А на внешней стороне большой сферы появится положительный заряд, равный опять же по модулю заряду внутренней сферы. Тем не менее, несмотря на появление этого положительного заряда, по количеству линий делаем заключение, что заряд внутренней сферы и заряд на внешней поверхности большой отличаются в два раза. Значит, сами заряды сфер отличаются в три раза – просто появление индуцированного положительного заряда уменьшило начальный заряд внешней сферы.

Ответ: 3.