Связь напряженности и потенциала: задачи Сириуса 2

Задача 1.

На концентрических сферах радиусами 2 см и 5 см равномерно распределены заряды 40 нКл и 60 нКл соответственно. Определите потенциал в точке на расстоянии 1 см от центра сфер. Ответ выразите в кВ, округлив до десятых. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Решение. На расстоянии 1 см от центра – это внутри сфер. Как известно, потенциал внутри заряженной сферы равен потенциалу на ее поверхности. А здесь две сферы, обе создадут свой потенциал, которые сложатся:

$$\varphi=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kq_2}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 40\cdot 10^{-9}}{0,02}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 60\cdot 10^{-9}}{0,05}=28800$$

Ответ: 28,8 кВ

Задача 2.

На концентрических сферах радиусами 1 м и 3 м равномерно распределены заряды 10 нКл и 50 нКл соответственно. Точка A находится на расстоянии 2 м от центра сфер, а точка B — на расстоянии 4 м. Определите модуль разности потенциалов между точками A и B. Ответ выразите в В, округлив до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Точка А находится внутри, между сфер. Для нее потенциал меньшей сферы (она вне ее) найдем как потенциал точечного заряда, а потенциал большей сферы в этой точке равен потенциалу на поверхности этой сферы:

$$\varphi_A=\frac{kq_1}{R_1+1}+\frac{kq_2}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10\cdot 10^{-9}}{2}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 50\cdot 10^{-9}}{3}=45+150=195$$

Точка В вне обеих сфер, ищем потенциал как для точечного заряда в обоих случаях:

$$\varphi_B=\frac{kq_1}{R_1+3}+\frac{kq_2}{R_2+1}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10\cdot 10^{-9}}{4}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 50\cdot 10^{-9}}{4}=135$$

Разность потенциалов – 60 В.

Ответ: 60 В.

Задача 3.

Потенциал в центре равномерно заряженного по объёму шара равен 120 В, а на расстоянии 30 см от центра потенциал равен 110 В. Чему равен радиус шара? Ответ выразите в см, округлив до целого числа.

Решение. Если имеем равномерно заряженный шар, потенциал определяем по формуле:

$$\varphi=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{1}{2}\frac{kQ}{R^3}r_1^2$$

Где $R$ - радиус шара, $r_1$ - расстояние от его центра. Так как первая точка в центре, то

$$\varphi_1=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}=120$$

Откуда

$$\frac{kQ}{R}=80$$

Для второй точки

$$\varphi_2=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{1}{2}\frac{kQ}{R^3}r_1^2=120-\frac{1}{2}\frac{80}{R^2}\cdot 0,3^2=110$$

Тогда

$$\frac{40}{R^2}\cdot 0,3^2=10$$

$$R^2=0,36$$

$$R=0,6$$

Ответ: 60 см

Задача 4.

Внутри равномерно заряженного по объёму шара радиусом 1 м находится концентрическая сферическая полость радиусом 50 см. Потенциал в центре полости равен 108 В, а на бесконечности 0 В. Чему равен потенциал на расстоянии 75 см от центра полости? Ответ выразите в В, округлив до целого числа.

Решение. Найдем потенциал в данной точке как суперпозицию потенциалов, созданных целым заряженным шаром и шаром радиусом 50 см, помещенным внутрь большого и имеющим заряд отрицательный. Надо заметить, что все шары подобны и двойная разница в радиусах даст нам отличие в объемах в 8 раз! А значит, и заряды будут отличаться в 8 раз.

Рассчитываем потенциал целого шара радиусом 1 м на расстоянии 75 см от центра:

$$\varphi_{bol}=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{1}{2}\frac{kQ}{R^3}r_1^2=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{1}{2}\frac{kQ}{R^3}\cdot (0,75R)^2=\frac{39}{32}\frac{kQ}{R}$$

Рассчитываем потенциал внутреннего заряженного отрицательно шара на том же расстоянии от центра:

$$\varphi_{mal}=-\frac{1}{8}\frac{kQ}{0,75R}=-\frac{1}{6}\frac{kQ}{R}$$

Теперь найдем потенциал внутри, в центре. Это суперпозиция потенциалов обеих сфер:

$$\varphi_{с}=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{3}{2}\frac{kq}{r}$$

$$\varphi_{с}=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{3}{2\cdot 8}\frac{kQ}{0,5R}=108$$

$$\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{8}\right) \frac{kQ}{R}=108$$

$$\frac{kQ}{R}=96$$

$$\varphi_{mal}=-\frac{1}{6}\frac{kQ}{R}=-16$$

Тогда искомый потенциал

$$\varphi_{bol}+\varphi_{mal}=\frac{39}{32}\cdot 96-16=101$$

Ответ: 101 В.

Задача 5.

Точки A, B и C принадлежат прямой, перпендикулярной равномерно заряженному по объёму слою. Точка C лежит на границе слоя, точка A расположена посередине между поверхностями, ограничивающими слой, а точка B делит отрезок AC пополам. Чему равно отношение $\frac{\varphi_A-\varphi_B}{\varphi_B-\varphi_C}$? Ответ округлите до сотых.

Рисунок к задаче 5

Решение. Я рассмотрела этот слой как «развернутый» шар. Тогда точка А в центре, B – на середине радиуса, C -  на поверхности шара, и

$$\varphi_A=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}$$

$$\varphi_B=\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{1}{2}\frac{kQ}{R^3}(0,5R)^2=\frac{11}{8}\frac{kQ}{R}$$

$$\varphi_C=\frac{kQ}{R}$$

В итоге:

$$\frac{\varphi_A-\varphi_B}{\varphi_B-\varphi_C}=\frac{\frac{3}{2}\frac{kQ}{R}-\frac{11}{8}\frac{kQ}{R}}{\frac{11}{8}\frac{kQ}{R}-\frac{kQ}{R}}=\frac{0,125}{0,375}=\frac{1}{3}$$

Ответ: 0,33