Связь напряженности и потенциала: задачи Сириуса

Задача 1.

На одной горизонтали на расстоянии $r$ друг от друга находятся точечные заряды $q$ и $2q$. Строго над зарядом $q$ на том же расстоянии $r$ от него расположена точка $M$. Найдите угол $\alpha$ между эквипотенциальной поверхностью, проходящей через точку $M$, и горизонталью. Ответ выразите в градусах, округлив до десятых.

Решение. Сделаем рисунок.

Рисунок к задаче 1

Нетрудно видеть, что гипотенуза треугольника $q-2q-M$ равна $r\sqrt{2}$. Зная расстояния от зарядов до точки $M$, определим напряженности, создаваемые в ней зарядами:

$$E_q=\frac{kq}{r^2}$$

$$E_{2q}=\frac{2kq}{2r^2}=\frac{kq}{r^2}$$

Оказывается, они одинаковые! А угол между этими векторами $45^{\circ}$! Получается, вектор суммы этих двух напряженностей направлен под углом $22,5^{\circ}$ к вертикали  (по биссектрисе, так как изображенный параллелограмм – ромб). Так же мы знаем, что вектор $E$ перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Поэтому угол между эквипотенциальной повуерхностью и горизонталью будет таким же, как и угол между вектором $E$ и вертикалью – они равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Ответ: $22,5^{\circ}$.

Задача 2.

Два точечных заряда $+q_1$ и $−q_2$ противоположных знаков расположены в вакууме соответственно в точках $M_1$ и $M_2$. Известно, что плоскость, касающаяся эквипотенциальной поверхности в некоторой точке $M$, перпендикулярна отрезку $M_1M_2$. Точка $M$ не лежит на прямой $M_1M_2$. Найдите отношение расстояний $r_1r_2$ от точки $M$ до зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно, если известно, что $q_1=8q_2$. Ответ округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 2

Решение. Касательная к эквипотенциальной поверхности вертикальна. Следовательно, вектор $E$ горизонтален (я выбрала горизонтальный отрезок $M_1M_2$).

Векторы напряженностей, созданные зарядами

Вектор $E$ - сумма векторов $E_1$ и $E_2$, значит, из его горизонтальности следует, что $E_1\sin \alpha=E_2\sin\beta$, или

$$\frac{kq_1}{r_1^2}\sin \alpha=\frac{kq_2}{r_2^2}\sin\beta$$

$$\frac{8\sin \alpha }{ r_1^2}=\frac{\sin\beta}{ r_2^2}$$

Рассмотрим отрезок $MH$. С одной стороны, он равен

$$MH=r_1\sin\alpha$$

С другой,

$$MH=r_2\sin\beta$$

Или

$$r_1\sin\alpha= r_2\sin\beta$$

Тогда

$$\frac{8r^2\sin \beta }{ r_1^3}=\frac{\sin\beta}{ r_2^2}$$

$$\frac{8}{ r_1^3}=\frac{1}{ r_2^3}$$

Получаем, что

$$\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{r_1}{r_2}=2$.

Задача 3.

Найдите разность потенциалов $\varphi_{2\sigma}-\varphi_{\sigma}$ двух длинных параллельных пластин, несущих заряды одного знака, если одна из них заряжена с поверхностной плотностью $\sigma=177$ нКл/м$^2$, а другая с поверхностной плотностью $2\sigma$. Расстояние между пластинами равно 1 см. Ответ выразите в В, округлив до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Ф/м.

Рисунок к задаче 3

Решение. Каждая пластина создаст напряженность поля. Первая

$$E_1=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Направлен этот вектор вправо в пространстве между пластин. Вторая создаст вектор, направленный влево, величиной

$$E_2=\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Общая напряженность поля между пластин равна разности векторов, направлена влево, по модулю ее величина

$$ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Ищем разность потенциалов:

$$\varphi_{2\sigma}-\varphi_{\sigma}=Ed=\frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}=\frac{177\cdot 10^{-9}\cdot 0,01}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}=100$$

Ответ: 100 В.

Задача 4.

Две квадратные параллельные пластины однородно заряжены с поверхностными плотностями $+0,2$ мкКл/м$^2$ и $−0,2$ мкКл/м$^2$. Сторона каждой пластины равна 1 м, расстояние между пластинами 1 мм. Найдите приращение $\Delta(\varphi_{+}-\varphi_{-})$ разности потенциалов центров пластин при увеличении расстояния между ними до 3 мм. Ответ выразите в В, округлив до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Ф/м.

Решение. Найдем разность потенциалов, какой она была вначале. Для этого понадобится найти напряженность поля. Каждая пластина создаст напряженность поля. Первая

$$E_1=\frac{q}{2\varepsilon_0 S}$$

Направлен этот вектор вправо в пространстве между пластин. Вторая создаст вектор, направленный также вправо, с той же величиной.

Общая напряженность поля между пластин равна сумме векторов, направлена вправо, по модулю ее величина

$$ E=\frac{2q}{2\varepsilon_0S}$$

Ищем разность потенциалов:

$$\varphi_{0+}-\varphi_{0-}=Ed=\frac{q d}{\varepsilon_0 S}=\frac{0,2\cdot 10^{-6}\cdot 0,001}{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 1}=22,6$$

При увеличении расстояния втрое разность потенциалов тоже вырастет втрое и станет равна 67,8 В. Приращение же разности потенциалов равно $67,8-22,6=45,2$ В.

Ответ: 45 В.

Задача 5.

По трём параллельным пластинам равномерно распределены заряды: на левой пластине 1 мкКл, на средней 2 мкКл, на правой −3 мкКл. Найдите абсолютную величину разности потенциалов крайних пластин. Расстояние между соседними пластинами равно 1 мм, площадь каждой пластины 1 м$^2$. Ответ выразите в В, округлив до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Ф/м.

Решение. Каждая пластина создаст напряженность поля. Первая (крайняя слева)

$$E_1=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Направлен этот вектор влево вне системы пластин. Вторая (крайняя справа) создаст вектор, направленный влево, величиной

$$E_2=\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Общая напряженность поля между пластин равна сумме векторов, направлена влево, по модулю ее величина

$$ E=\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Ищем разность потенциалов:

$$\varphi_{3\sigma}-\varphi_{\sigma}=Ed=\frac{4\sigma d}{2\varepsilon_0}=\frac{2q d}{\varepsilon_0 S}=\frac{2\cdot 1\cdot 10^{-6}\cdot 0,002}{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 1}=\frac{4000}{8,85}=451,98$$

Ответ: 452 В.