Поток вектора напряженности поля - задачи Сириуса

Задача 1.

Найдите напряжённость электрического поля, которое создают 5 равномерно заряженных граней куба в его центре, если шестая грань отсутствует. Длина ребра куба равна 10 см, поверхностная плотность заряда равна 1 мкКл/м$^2$. Ответ выразите в кВ/м, округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть отсутствует передняя грань. Напряженности, созданные боковыми гранями, направлены противоположно и одинаковы, они «убьют» друг друга. То же самое с напряженностями верхней и нижней граней. Остается только задняя грань, она и создаст вектор напряженности в центре куба. Определим эту напряженность через поверхностную плотность и телесный угол. Если смотреть из центра куба, грань его видно под телесным углом $\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$, так как полный телесный угол равен $4\pi$, а часть пространства, видная из центра куба через единственную грань, $\frac{1}{6}$, поэтому

$$E_{perp}=k\sigma \Omega=9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}\cdot \frac{2\pi}{3}=18,8\cdot 10^3$$

Ответ: 19 кВ/м.

Задача 2.

Во сколько раз уменьшится поток через верхнюю грань куба, если перенести точечный заряд из центра куба в одну из вершин нижней грани? Ответ округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 2

Решение. Из центра куба верхняя грань куба видна под телесным углом $\frac{4\pi}{6}$, а если заряд перенести в вершину нижней грани, то оттуда видно три грани куба под телесным углом $\frac{\pi}{2}$, а одну грань видно под телесным углом $\frac{\pi}{6}$, поэтому напряженность уменьшится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

Задача 3.

Точечный заряд $q=1$ мкКл помещён в центр правильного тетраэдра, равномерно заряженного по поверхности с поверхностной плотностью заряда 1 мкКл/м$^2$. Длина ребра тетраэдра равна 10 см. С какой силой точечный заряд действует на каждую грань тетраэдра? Ответ выразите в мН, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 3

Решение. Определяем напряженность поля в центре тетраэдра, с учетом, что граней 4 и из центра одна грань видна под телесным углом $\frac{4\pi }{4}$:

$$E_{perp}=k\sigma \Omega=9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}\cdot \pi=28,3\cdot 10^3$$

Умножив напряженность на заряд, получим силу:

$$F=qE=10^{-6}\cdot 28,3\cdot 10^3=28\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 28 мН.

Задача 4.

Длинная труба имеет квадратное сечение. Три грани трубы заряжены с поверхностной плотностью 1 мкКл/м$^2$, а четвёртая грань не заряжена. Найдите напряжённость электрического поля на оси трубы вдали от её концов. Ответ выразите в кВ/м, округлите до целого числа.

Решение. Как и с кубом, понимаем, что противоположные грани создадут напряженности, равные по модулю и направленные противоположно. Остается задняя грань. Если встать на оси трубы, то через отсутствующую грань будет видно ровно четверть пространства – значит, телесный угол $\pi$.

$$E_{perp}=k\sigma \Omega=9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}\cdot \pi=28,3\cdot 10^3$$

Ответ: 28 кВ/м.

Задача 5.

Бесконечный стержень, поперечное сечение которого представляет собой правильный треугольник со стороной 1 см, равномерно заряжен по объёму. Объёмная плотность заряда равна 1 мкКл/м$^3$. Найдите напряжённость поля стержня в точке на его ребре. Ответ выразите в В/м, округлите до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Обратим внимание: заряжен с объемной плотностью. Надо бы найти и объем, и заряд. Пусть сторона стержня $a=0,01$ м, а высота (гипотетическая) $h$, объем тогда равен

$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$$

Площадь грани равна $ah$, выразим $h$ и подставим:

$$S=a\cdot \frac{4V}{a^2\sqrt{3}}=\frac{4V}{a\sqrt{3}}$$

Что есть объемная плотность?

$$\sigma_{V}=\frac{q}{V}$$

Откуда

$$V=\frac{q}{\sigma_{V}}$$

Тогда площадь грани

$$S=\frac{4}{ a\sqrt{3}}\cdot \frac{q}{\sigma_{V}}$$

Поверхностную плотность найдем как

$$\sigma=\frac{q}{S}=\frac{\sigma_{V}\cdot a\sqrt{3}}{4}$$

Теперь найдем напряженность как

$$ E_{perp}=k\sigma \Omega= k\Omega \cdot \frac{\sigma_{V}\cdot a\sqrt{3}}{4}$$

Одну грань видно из точки на ребре под углом $\frac{4\pi}{3}$ (видим треть пространства), считаем напряженность:

$$ E_{perp}=9\cdot 10^9\cdot \frac{10^{-6}\cdot 0,01\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4\pi}{3}=30\sqrt{3} \pi=163$$

Ответ: 163 В/м.

Задача 6.

Бусинка, имеющая заряд $q=1$ мкКл, висит на изолирующей лёгкой нити. К бусинке поднесли плоскую непроводящую квадратную пластину со стороной $a$, равномерно заряженную с поверхностной плотностью заряда $\sigma=10$ мкКл/м$^2$. В результате нить отклонилась от вертикали на угол $\alpha=30^{\circ}$ и оказалась параллельна пластине. Найдите массу бусинки, если расстояние от бусинки до всех вершин пластины равно $3\sqrt{2} a$. Ответ выразите в г, округлите до целого числа. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок к задаче 6

Решение. Сделаем рисунок «в профиль» и расставим силы. Тогда можно записать уравнения по второму закону Ньютона в проекциях на обе оси:

$$F_q \cos 30^{\circ}=T\sin 30^{\circ}$$

$$ F_q \sin 30^{\circ}+ T\cos 30^{\circ}=mg$$

Избавляемся от $T$:

$$ F_q \sin 30^{\circ}+ \frac{ F_q \cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\cos 30^{\circ}=mg$$

Можно и подстановку сделать, синусы-косинусы подставить:

$$2F_q=mg$$

Теперь наша задача – найти силу Кулона, а для этого нужна напряженность поля. И вот тут задача найти телесный угол. Кто хорошо знает стереометрию, тот вспомнит, что диагональ куба равна $a\sqrt{3}$, а половина диагонали - $\frac{ a\sqrt{3}}{2}$. Тогда-то и станет очевидно, что пирамида, образованная пластиной, как основанием, и бусинкой, как вершиной, не что иное, как шестая часть куба. То есть из места расположения бусинки мы видим пластину под телесным углом $\frac{2\pi}{3}$, тогда

$$F_q=Eq=k\sigma \Omega q=9\cdot 10^9\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot 10^{-6}\cdot \frac{4\pi}{6}=18,8\cdot 10^{-3}$$

$$m=\frac{2F_q}{g}=\frac{37,7\cdot 10^{-3}}{10}=3,77\cdot10^{-3}$$

Ответ: 38 г.