Олимпиадная подготовка по электростатике - 11

Задача 1.

Точечный заряд $Q$ находится на расстоянии $d$ от очень большой проводящей плоскости. В некоторый момент времени заряд перемещают на расстояние $2d$ вдоль плоскости (см. рисунок), причем так быстро, что за время перемещения заряда $Q$ заряды на плоскости не успели сместиться от своих первоначальных положений. Какое количество теплоты выделится в веществе плоскости в процессе установления равновесия?

Рисунок к задаче 1

Решение. Воспользуемся методом отражений. Со стороны плоскости на заряд $Q$ действует сила (на плоскости под зарядом индуцируются заряды противоположного знака). Такая же точно сила действовала бы на заряд, если бы плоскости не было, а был бы вместо нее заряд $-Q$, расположенный на расстоянии $d$ от места, где рас полагалась плоскость – отражение заряда $Q$.

Метод отображений

Между плоскостью и зарядом (в первоначальном положении) есть потенциальная энергия взаимодействия. Точно такой же она будет, когда мы переместим заряд на $2d$, и на плоскости вслед за этим тоже произойдет перераспределение заряда. То есть потенциальная энергия взаимодействия заряда и плоскости никак не изменится. А что же изменится?

Для того, чтобы переместить заряд $Q$, нужно совершить работу. Мы как будто перемещаем заряд в поле другого, неподвижного заряда $-Q$ (потому что на плоскости ничего не успело измениться за время перемещения заряда $Q$. Эта работа равна разности энергий взаимодействия зарядов $Q$ и его «отражения» $-Q$ в начальном и конечном состоянии.

Сначала между зарядами расстояние $2d$, их энергия взаимодействия

$$W_1=\frac{kQ^2}{2d}$$

А после перемещения заряда $Q$ между ним и его не успевшим сместиться изображением $-Q$ расстояние

$$x=\sqrt{(2d)^2+(2d)^2}=2\sqrt{2}d$$

Сместили заряд

Энергия взаимодействия будет такой:

$$W_2=\frac{kQ^2}{2\sqrt{2}d }$$

Работа равна

$$A=W_1-W_2=\frac{kQ^2}{d}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$$

$$A=\frac{kQ^2}{d}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$$

Вся совершенная работа и выделится в виде теплоты.

Ответ: $A=\frac{kQ^2}{d}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.

Задача 2.

В точке $A$, расположенной на расстоянии $r$ от центра $O$ незаряженной проводящей сферы радиуса $R$ находится точечный заряд $q$. Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится после заземления потенциал $\varphi_B$ точки $B$, являющейся вершиной равностороннего треугольника $ABO$?

Рисунок к задаче 2

Решение. Так как сфера проводящая, то обязательно на левую ее половину притекут (индуцируются) отрицательные заряды. Внешний заряд создает напряженность поля $E$, а две половинки сферы – на правой половинке индуцирован заряд положительного знака – создадут напряженность поля $E_{vnut}$, так что напряженность поля внутри сферы нулевая.

$$\vec{E}+ \vec{E_{vnut}}=0$$

Внешняя и внутренняя напряженности компенсируют друг друга

Потенциал сферы до заземления равен

$$\varphi_{1}=\frac{kq}{r}$$

После заземления потенциал сферы $\varphi_{sf}=0$. При заземлении на сферу притекут отрицательные заряды  $Q$ и распределятся по ней равномерно, потому что по теореме единственности их приток не должен нарушить величины напряженности $ E_{vnut}$ (напряженность поля внутри сферы нулевая и до, и после). Значит,

$$\mid\frac{kq}{r}\mid =\mid \frac{kQ}{R}\mid$$

$$Q=-\frac{Rq}{r}$$

Приток отрицательных зарядов вызовет изменение потенциала точки $B$, которая тоже находится на расстоянии $r$ от центра сферы:

$$\Delta \varphi=-\frac{kQ}{r}=-\frac{kqR}{r^2}$$

Ответ: $\Delta \varphi=-\frac{kqR}{r^2}$.

Задача 3.

Два металлических одинаковых полушара радиуса $R$ расположены так, что между ними имеется очень небольшой зазор. Полушары заряжают зарядами $-Q$ и $3Q, Q>0$. Найти напряженность электрического поля в зазоре между полушарами.

Рисунок к задаче 3

Решение. Так как зазор очень малый, можно себе представить вместо двух половинок целый шар. Если бы он был целым, заряд бы распределился равномерно и поле внутри было бы равным нулю. Поэтому заряды на плоских срезах полушаров должны быть разного знака, но равны по модулю, а заряды на внешних поверхностях должны быть одинаковы.

Распределение зарядов на сфере

Тогда

$$q_1-q_2=-Q$$

$$q_1+q_2=3Q$$

Складываем уравнения этой системы

$$2q_1=2Q$$

$$q_1=Q$$

$$q_2=2Q$$

В зазоре между полушарами можно рассматривать поле, как суперпозицию полей двух заряженных плоскостей.

$$E=\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{q_2}{S\varepsilon_0}=\frac{2Q}{\pi R^2\varepsilon_0}$$

Ответ: $E=\frac{2Q}{\pi R^2\varepsilon_0}$.