Напряженность поля: задачи с применением законов Ньютона

Решим несколько задач, совсем несложных, связанных с напряженностью поля и одновременно требующих составления уравнений по второму закону Ньютона. Здесь мы вспомним, как раскладывать силы на проекции по осям, повторим силу Архимеда.

Задача 1.

На какой угол $\alpha$  отклонится от вертикали подвешенный на шелковой нити бузиновый шарик массой $m=0,4$ г, если его поместить в однородное горизонтальное поле напряженностью $E=10^5$ В/м? Заряд шарика $q_1=4,9$ нКл. Обозначим на рисунке силу тяжести, силу натяжения нити, силу кулоновского взаимодействия.

Задача 1.

Тогда по второму закону Ньютона $$mg=T\cos{\alpha}$$ $$F_k=T\sin{\alpha}$$ Разделим уравнения одно на другое (лучше второе на первое, чтобы тангенс получить):

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_k}{mg}$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{Eq}{mg}$$

$$\alpha=\operatorname{arctg}{\frac{Eq}{mg}}=\operatorname{arctg}{\frac{10^5\cdot4,9\cdot10^{-9}}{9,8\cdot0,4\cdot10^{-3}}}=\operatorname{arctg}{\frac{1}{8}}=7,1^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=7,1^{\circ}$.  

Задача 2.

Каков диаметр масляной капли плотностью $\rho=900$ кг/м$^3$, которую с помощью одного лишнего электрона можно уравновесить в поле напряженностью $E=10 000$ В/м? Чтобы найти диаметр капли, нужно узнать ее объем: $$d=\sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$$ Объем можно узнать, зная массу и плотность: $$V=\frac{m}{\rho}$$ Так как капля уравновешена в поле, то сила тяжести равна кулоновой силе: $$F_k=mg$$ $$m=\frac{F_k}{g}=\frac{Ee}{g}$$ $$d=\sqrt[3]{\frac{6m}{\rho\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6Ee}{g\rho\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6\cdot10^4\cdot 1,6\cdot10^{-19}}{9,8\cdot900\cdot3,14}}=7\cdot10^{-7}$$ Ответ: 0,7 мкм  

Задача 3.

Положительно заряженный шарик массой $m=0,18$ г  и плотностью вещества $\rho=1800$ кг/м$^3$ находится во взвешенном состоянии в жидком диэлектрике плотностью $\rho_1=900$ кг/м$^3$. В диэлектрике имеется однородное электрическое поле напряженностью $E=45$ кВ/м, направленное вертикально вверх. Найдите заряд шарика. Так как шарик не тонет, то очевидно, что сила тяжести равна сумме двух сил: силе кулоновского взаимодействия и Архимедовой силе: $$mg=F_A+F_k$$ $$mg=\rho_1 g V+Eq$$ Вытесняемый объем найдем, зная массу и плотность вещества шарика: $$V=\frac{m}{\rho}$$

Выразим заряд:

$$Eq=mg-\rho_1 g \frac{m}{\rho}$$

$$q=\frac{mg}{E}-\rho_1 g \frac{m}{E\rho}$$

$$q=\frac{mg}{E}\left(1- \frac{\rho_1}{\rho}\right)= \frac{0,18\cdot10^{-3}\cdot9,8}{45\cdot10^3}\left(1- \frac{900}{1800}\right)=19,6\cdot 10^{-9}$$ Ответ: 19,6 нКл