Напряженность поля: простые задачи

Решим несколько несложных задач на расчет напряженности поля, создаваемого зарядом. Среди них есть несколько довольно интересных, которые допускают два решения. Также придется вспомнить правила работы с векторами и подобие треугольников.

Задача 1.

Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом на расстоянии $r=10$ см от него, равна $E=90$ В/м. На каком расстоянии от заряда напряженность электрического поля на $\Delta E=30$ В/м меньше? Напряженность поля равна: $$E=\frac{kq}{r^2}$$ Тогда заряд $$q=\frac{Er^2}{k}$$ Напряженность поля меняется с расстоянием, а заряд – нет, поэтому мы на него обопремся: $$q=\frac{(E-\Delta E)l^2}{k}$$ Приравняв оба выражения, можно определить искомое расстояние $l$: $$l^2=\frac{r^2E}{E-\Delta E}$$ $$l=\sqrt{\frac{r^2E}{E-\Delta E}}$$ $$l=r\sqrt{\frac{E}{E-\Delta E}}=0,1\sqrt{1,5}=0,122$$ Ответ: 12,2 см  

Задача 2.

Заряд маленького шарика увеличивают на $\eta=44$%. Как и насколько следует изменить расстояние от заряда до точки наблюдения, чтобы напряженность электрического поля в ней не изменилась? Первоначальное расстояние $r=15$ см. Запишем изменение заряда «математическим языком»: $$q_1=1,44q$$ Первоначальная напряженность поля равна: $$E=\frac{kq}{r^2}$$ Напряженность поля при изменении заряда и расстояния: $$ E_1=\frac{kq_1}{l^2}$$ Приравняем напряженности, ведь по условию в том и другом случае они равны: $$\frac{kq}{r^2}=\frac{kq_1}{l^2}$$ $$\frac{q}{r^2}=\frac{1,44q}{l^2}$$ $$l^2=1,44r^2$$ Или $l=1,2r$. То есть увеличить расстояние нужно на 20%, а это 3 см. Ответ: 3 см.  

Задача 3.

Заряд, создающий поле, уменьшили на $\eta_1=30$%, расстояние до точки наблюдения увеличили на  $\eta_2=20$%. Как и на сколько процентов изменилась напряженность электрического поля? Первоначальная напряженность поля равна: $$E=\frac{kq}{r^2}$$ Заряд изменили: $q_1=0,7q$, расстояние – тоже: $r_1=1,2r$. Напряженность поля стала равна: $$E_1=\frac{kq_1}{r_1^2}=\frac{k0,7q}{1,44r^2}=0,48E$$ Таким образом, понятно, что напряженность изменилась на 52%. Ответ: 52%.  

Задача 4.

Заряд $q=50$ мкКл находится на плоскости $XOY$  в точке с радиус-вектором $\vec{r_0}=2\vec{i}+3\vec{j}$. Найти вектор напряженности электрического поля и его модуль в точке с радиус-вектором $\vec{r}=8\vec{i}-5\vec{j}$.

Задача 2.

Из рисунка понятно, что расстояние между зарядом и заданной точкой равно 10 (это следует из теоремы Пифагора). Тогда модуль напряженности найти легко: $$E=\frac{kq}{r^2}=\frac{9\cdot10^9\cdot50\cdot10^{-6}}{100}=4500$$ Направление вектора напряженности поля совпадает с вектором: $\vec{r}-\vec{r_0}$. Тогда, умножив модуль на направление, как раз и получим напряженность поля: $$\vec{E}=\mid E \mid \cdot\frac{(\vec{r}-\vec{r_0})}{\mid\vec{r}-\vec{r_0}\mid}$$ $$\vec{r}-\vec{r_0}=8\vec{i}-5\vec{j}-(2\vec{i}+3\vec{j})=6\vec{i}-8\vec{j}$$ $$\vec{E}=\frac{kq(\vec{r}-\vec{r_0})}{{\mid\vec{r}-\vec{r_0}\mid}^3}=\frac{9\cdot10^9\cdot50\cdot10^{-6}(6\vec{i}-8\vec{j})}{10^3}=450(6\vec{i}-8\vec{j})=2700\vec{i}-3600\vec{j}$$ Ответ: $\vec{E}=2,7\vec{i}-3,6\vec{j}$ кВ/м,  $E=4500$ В/м.  

Задача 5.

Положительный заряд $q=130$ нКл  расположен в некоторой точке $C$ плоскости $XOY$. При этом в точке $A$ с координатами (2; -3) напряженность электрического поля $E_A=32,5$ В/м, а в точке $B$ с координатами (-3; 2) - $E_B=45$ В/м. Найти координаты точки $C$, где расположен заряд.

Запишем напряженность поля в обеих точках:

$$E_A=\frac{kq}{r_A^2}$$

$$E_B=\frac{kq}{r_B^2}$$

Примем обозначения $x$ и $y$ для координат точки C, где расположен заряд. Расстояние от точки $A$ до заряда тогда равно:

$$r_A=\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}$$

Расстояние от точки $B$ до заряда:

$$r_B=\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}$$

Напряженность поля в точке $A$:

$$E_A=\frac{kq}{(x-2)^2+(y+3)^2}$$

$$32,5=\frac{9\cdot10^9\cdot130\cdot10^{-9}}{(x-2)^2+(y+3)^2}$$

Напряженность поля в точке $B$:

$$E_B=\frac{kq}{(x+3)^2+(y-2)^2}$$

$$45=\frac{9\cdot10^9\cdot130\cdot10^{-9}}{(x+3)^2+(y-2)^2}$$

Имеем систему:

$$\Bigg\{ \begin{matrix}{(x-2)^2+(y+3)^2=36}\\{(x+3)^2+(y-2)^2=26}\end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix}{x^2-4x+4+y^2+6y+9=36}\\{x^2+6x+9+y^2-4y+4=26}\end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix}{x^2-4x+y^2+6y=23}\\{x^2+6x+y^2-4y=13}\end{matrix}$$

Вычтем из одного уравнения другое: $$-10x+10y=10$$ Или $$y-x=1$$ Можно выразить $y=x+1$ и подставить в исходное уравнение: $$x^2+6x+9+(x-1)^2=26$$ $$2x^2+4x-16=0$$ $x_1=2$,  $x_2=-4$ Тогда $y_1=3$, $y_2=-3$. Ответ: или точка с координатами (2; 3), или с координатами (-4;-3).  

Задача 6.

В точке $A$  напряженность электрического поля, создаваемого зарядом,  $E_A=36$ В/м, а в точке $B$  - $E_B=9$ В/м. Найти напряженность в точке $C$, расположенной посередине между точками $A$ и $B$. Запишем напряженность поля в обеих точках: $$E_A=\frac{kq}{r_A^2}$$ $$E_B=\frac{kq}{r_B^2}$$ Напряженность поля в точке $C$: $$E_С=\frac{kq}{r_С^2}=\frac{kq}{(\frac{r_B-r_A}{2}+r_A)^2}=\frac{kq}{(\frac{r_B+r_A}{2})^2}=\frac{4kq}{(r_B+r_A)^2}$$ Определим расстояния от заряда до точек $A$ и $B$: $$r_A=\sqrt{\frac{kq}{E_A}}$$ $$r_B=\sqrt{\frac{kq}{E_B}}$$ Теперь найдем их сумму и возведем ее в квадрат: $$ (r_A+ r_B)^2=\frac{kq}{E_A}+2\sqrt{\frac{kq}{E_A}}\sqrt{\frac{kq}{E_B}}+\frac{kq}{E_B}$$ $$ (r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{1}{E_A}+2\sqrt{\frac{1}{E_AE_B}}+\frac{1}{E_B}\right)$$ $$ (r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{ E_A +2\sqrt{E_AE_B}+E_B}{E_AE_B}\right)$$ $$ (r_A+ r_B)^2=kq\left(\frac{ \left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}{E_AE_B}\right)$$ Ну и наконец, напряженность в точке $C$ равна: $$E_С=\frac{4kq}{ kq\left(\frac{ \left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}{E_AE_B}\right)}=\frac{4E_AE_B}{\left(\sqrt{E_A} +\sqrt{E_B}\right)^2}$$ $$E_С=\frac{4\cdot36\cdot9}{\left(\sqrt{36} +\sqrt{9}\right)^2}=16$$ Ответ: 16 В/м  

Задача 7.

Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом $q$ в точках $A$ и $B$ соответственно $E_A=0,2$ кВ/м, $E_B=0,1$ кВ/м. Определить напряженность поля в точке $C$.

Задача 7.

Запишем напряженность поля в обеих точках: $$E_A=\frac{kq}{r^2}$$ $$E_B=\frac{kq}{l^2}$$ Тогда расстояния равны: $$r^2=\frac{kq}{E_A}$$ $$l^2=\frac{kq}{E_B}$$ Расстояние между точками $A$ и $B$: $$m=\sqrt{r^2+l^2}=\sqrt{kq(\frac{1}{E_A}+\frac{1}{E_B})}$$ Запишем соотношения для сходственных сторон в подобных треугольниках $AOC$ и $AOB$: $$\frac{x}{r}=\frac{l}{m}$$ $$x=\frac{rl}{m}=\frac{kq\sqrt{E_AE_B}}{\sqrt{kq(\frac{1}{E_A}+\frac{1}{E_B})}}$$ $$x=\sqrt{\frac{kq}{E_A+E_B}}$$ Тогда напряженность поля в точке $C$: $$E_C=\frac{kq}{x^2}=\frac{kq}{\frac{kq}{E_A+E_B}}=E_A+E_B=0,3$$ Ответ: 0,3 кВ/м.