Напряженность поля и потенциал заряженных концентрических сфер (задачник Белолипецкого)

Задача 1.

Металлический заряженный шар радиуса $R_1$ окружен концентрической проводящей сферической оболочкой, внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно $R_2$ и $R_3$. Заряд шара равен $Q$, оболочка не заряжена. Получите выражения для зависимостей напряженности электрического поля $E$ и потенциала $\varphi$ от расстояния $r$ до центра шара и постройте графики $E(r)$ и $\varphi (r)$.

Решение. Заряд $Q$ распределится равномерно по поверхности шара. При этом он вызовет появление (индукцию) заряда $-Q$ на внутренней поверхности оболочки и заряда $+Q$ на внешней ее поверхности. Теперь для решения воспользуемся теоремой Гаусса.

$$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=E\cdot 4\pi r^2$$

$$E=\frac{q}{\varepsilon_0\cdot 4\pi r^2}$$

 Гауссовой поверхностью будет сфера с радиусом $r$. Сначала $r<R_1$, поэтому Гауссова поверхность не охватывает заряд (внутри нее заряд ноль), следовательно, внутри шара $E_1=0$. Когда $R_1<r<R_2$, внутри Гауссовой поверхности оказывается заряд $Q$, распределенный по поверхности шара. Тогда

$$E_2=\frac{Q}{\varepsilon_0\cdot 4\pi r^2}$$

Если $R_2<r<R_3$, то внутри гауссовой поверхности окажется заряд $Q$ на шаре и заряд $-Q$ на внутренней поверхности оболочки – то есть опять ноль! $E_3=0$. Наконец, когда $r>R_3$, внутри гауссовой сферы заряд $Q-Q+Q=Q$, и

$$E_4=\frac{Q}{\varepsilon_0\cdot 4\pi r^2}$$

Теперь разберемся с потенциалами. Проще всего идти снаружи, то есть рассмотреть случай $r\geqslant R_3$. Потенциал будет равен

$$\varphi_4=\frac{kQ}{r}$$

Теперь случай $R_2\leqslant r\leqslant R_3$: потенциал будет равен потенциалу внешней сферы:

$$\varphi_3=\frac{kQ}{R_3}+\frac{kQ}{R_2}-\frac{kQ}{R_2}=\frac{kQ}{R_3}$$

Внутри оболочки потенциал будет определяться потенциалом внешней поверхности оболочки, потенциалом внутренней и потенциалом шара:

$$\varphi_2=\frac{kQ}{R_3}-\frac{kQ}{R_2}+\frac{kQ}{r}$$

При этом $R_1\leqslant r\leqslant R_2$

Наконец, внутри шара ($r\leqslant R_1$):

$$\varphi_1=\frac{kQ}{R_3}-\frac{kQ}{R_2}+\frac{kQ}{R_1}$$

Напряженность поля (значения напряженностей по оси $E$ можно определить по конкретным радиусам)

Потенциал