Максимальная напряженность поля в зависимости от расстояния

Решим несколько задач, связанных с определением напряженности поля на различных расстояниях от объекта, который является источником поля. Здесь потребуется вспомнить правила взятия производной сложной функции, а также и предел функции.

Задача 1.

При напряженности электрического поля $E=10^6$ В/м воздух перестает быть надежным изолятором и в нем происходит искровой разряд. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы на нем мог удержаться заряд в 1 Кл?

Напряженность поля  заряженного шара выражается формулой

$$E=\frac{kQ}{R^2}$$

Отсюда найдем радиус:

$$R=\sqrt{\frac{kQ}{E}}=\sqrt{\frac{9\cdot10^9\cdot1}{10^6}}=94,9$$

Ответ: 94,9 м.

Задача 2.

В вершинах квадрата со стороной $a$ расположены четыре  одинаковых заряда $q$. Определить максимальную напряженность поля на оси, проходящей через середину квадрата перпендикулярно его плоскости.  На каком расстоянии от квадрата напряженность максимальна?

Задача 2

Каждый из зарядов будет делать вклад в суммарную напряженность поля в данной точке. Вектора напряженностей от пары зарядов, находящихся в противоположных углах, частично компенсируют друг друга: горизонтальные их составляющие (проекции на плоскость квадрата) в сумме дадут ноль. Поэтому складываться будут вертикальные составляющие – проекции напряженностей на вертикальную ось. Проекция напряженности поля на вертикальную ось от одного заряда равна:

$$E=\frac{kq\cos{\alpha}}{l^2}$$

От четырех зарядов:

$$E=\frac{4kq\cos{\alpha}}{l^2}$$

Расстояние до заряда $l$, определим его. Если сторона квадрата $a$, то диагональ равна $a\sqrt{2}$, а половина диагонали - $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Пусть от плоскости квадрата до точки $F$ расстояние $x$: $OF=x$. Тогда

$$l^2=\frac{a^2}{2}+x^2$$

А косинус угла

$$\cos{\alpha}=\frac{x}{l}=\frac{x}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+x^2}}$$

Подставим:

$$E=\frac{4kqx}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)^3}}$$

В этой формуле переменная величина – расстояние $x$. Чтобы найти максимум функции $E(x)$, возьмем производную:

$$E^{\prime}=\frac{4kq\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)^{\frac{3}{2}}-4kqx\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{3}{2} \cdot 2x}{\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)^3}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

$$4kq\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{a^2}{2}+x^2-3x^2\right)=0$$

$$\frac{a^2}{2}=2x^2$$

$$x=\frac{a}{2}$$

Мы определили  расстояние, на котором напряженность будет максимальной – можно убедиться в том, что это именно точка максимума, определив знак производной слева и справа от данной точки. Теперь можно подставить это расстояние в формулу напряженности поля и определить максимальную напряженность:

$$E_m=\frac{2kqa}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}\right)^3}}=\frac{2kqa}{\left(\frac{3a^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$$

$$E_m=\frac{2kqa}{2^{-3}a^3\cdot3^{\frac{3}{2}}}=\frac{16kq}{3\sqrt{3}a^2}$$

Ответ: максимальная напряженность $E_m=\frac{16kq}{3\sqrt{3}a^2}$ достигается на расстоянии $x=\frac{a}{2}$ от плоскости квадрата.

Задача 3.

Тонкое проволочное кольцо радиусом $R$ имеет заряд $q$.  Найти напряженность поля на оси кольца на расстоянии $x$ от его центра. Построить график зависимости $E(x)$.

Задача похожа на предыдущую. Только теперь элементарные заряды распределены по кольцу, и каждый заряд создает вектор напряженности. Таким образом, получим поверхность в виде конуса, составленную из векторов напряженностей отдельных элементарных зарядов.

Если встать в центр кольца, то вектора полностью скомпенсируют друг друга, и суммарная напряженность будет нулевой. Однако, как только мы сдвинемся чуть вправо или влево из этой точки, то напряженность уже не будет нулевой, так как у векторов появится продольная составляющая, и именно сумма всех этих составляющих  и даст напряженность поля в любой точке на оси кольца, удаленной от него на расстояние $x$. Элементарный заряд можно найти как $\frac{q}{2\pi R}$. Напряженность, создаваемая им,

$$E=\frac{kq\cos{\alpha}}{l^2}$$

Где $l^2=R^2+x^2$, а косинус угла $$\cos{\alpha}=\frac{x}{l}=\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}$$

Напряженность поля ото всех зарядов:

$$E=\frac{q}{2\pi R} \frac{2 \pi R k\cos{\alpha}}{ l^2}$$

$$E=\frac{kqx}{ (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$$

Чтобы найти максимум функции $E(x)$, возьмем производную:

$$E^{\prime}=\frac{kq\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}-kqx\left(R^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2x}{\left(R^2+x^2\right)^3}$$

$$E^{\prime}=kq\left(R^2+x^2\right)^{-\frac{3}{2}}-3kqx\left(R^2+x^2\right)^{-\frac{5}{2}}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

$$E^{\prime}=0$$

$$1=3x^2(R^2+x^2)^{-1}$$

$$2x^2=R^2$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{2}}$$

Определим максимальную напряженность поля в этой точке, подставив это расстояние в выражение для напряженности:

$$E=\frac{kqR}{\sqrt{2} (R^2+\frac{R^2}{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{2kq}{3\sqrt{3} R^2}$$

Мы выяснили, что в центре кольца напряженность поля нулевая и растет с расстоянием $x$, пока не достигнет максимума на расстоянии $x=\frac{R}{\sqrt{2}}$. Теперь посмотрим, чему будет равна напряженность на бесконечно большом расстоянии: устремим $x$ к бесконечности.

$$\lim_{x \to \infty}E=\lim_{x \to \infty}{\frac{kqx}{ (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}$$

Так как в этой функции $x$ и в числителе, и в знаменателе, и мы имеем неопределенность типа бесконечность на бесконечность, то определим предел по правилу Лопиталя:

$$\lim_{x \to \infty}{\frac{kq}{\frac{3}{2} (R^2+x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x}}=0$$

Итак, можно строить график:

Задача 3, график