Энергия поля заряженной металлической сферы

Задача. Уединенная металлическая сфера электроемкостью $C=4$ пФ заряжена до потенциала $\varphi=1$ кВ. Определите энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса сферы.

Решение. Как мы определяем массу, умножая плотность на объем, так и в этой задаче: определим энергию, умножая объемную плотность энергии на объем. Только нужно понимать, что объемная плотность энергии тем больше, чем ближе к сфере мы находимся (потому что она зависит от напряженности, а напряженность с расстоянием убывает). То есть с удалением от заряженного объекта она уменьшается. Поэтому придется интегрировать.

Объемная плотность энергии может быть определена как

$$\omega=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2}$$

Напряженность поля можно записать как

$$E=\frac{kq}{r^2}=\frac{C\varphi}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$$

Подставим это выражение в выражение для объемной плотности энергии:

$$\omega=\frac{C^2\varphi^2}{2 \varepsilon_0 (4\pi)^2 r^4}$$

Малый объем можно вычислить как поверхность сферы, умноженную на небольшую высоту слоя:

$$dV=4\pi r^2 dr$$

Теперь можно определить энергию поля, заключенную в слое:

$$W=\int_R^{4R} \omega dV=\int_R^{4R} \frac{C^2\varphi^2\cdot 4\pi r^2}{2 \varepsilon_0 (4\pi)^2 r^4}dr=\frac{C^2\varphi^2}{2 \varepsilon_0 \cdot 4\pi} \int_R^{4R} \frac{dr}{r^2}$$

$$W=\frac{C^2\varphi^2}{8 \varepsilon_0 \pi} (-r^{-1})|_{R}^{4R}=\frac{C^2\varphi^2}{8 \varepsilon_0 \pi}\left(-\frac{1}{4R}+\frac{1}{R}\right)=$$

$$= \frac{C^2\varphi^2}{8 \varepsilon_0 \pi}\cdot \frac{3}{4R}$$

Так как

$$R=\frac{C}{4\pi \varepsilon_0},$$

То

$$W=\frac{3C\varphi^2}{8}=\frac{3\cdot4\cdot10^{-12}\cdot 10^6}{8}=1,5\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $W=\frac{3C\varphi^2}{8}=1,5$ мкДж