Энергия поля

Задача 1.

Какую работу нужно совершить, чтобы вставить одну систему разноименно заряженных параллельных проводящих пластин в другую так, как показано на рисунке (расстояния между соседними пластинами одинаковы)?

Рисунок к задаче 1

Поверхностная плотность зарядов на пластинах равны $\sigma=0,3$ нКл/м$^2$ и $-\sigma$, площадь каждой пластины $S=400$ см$^2$, расстояние между пластинами $d=5$ мм в начальной ситуации много меньше линейных размеров пластин. Ответ выразите в $10^{−13}$ Дж, округлите до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н$\cdot$ м$^2$.

Решение. Определяем, как распределятся заряды – найдем поверхностную их плотность на обеих сторонах каждой пластины. Так как изначально обе системы пластин нейтральны – их суммарный заряд ноль – то поля вокруг вставленных друг в друга пластин не будет. Имеем: верхняя пластина имеет на верхней поверхности плотность заряда ноль, на нижней - $-\sigma$. Верхняя рыжая пластина на нижней стороне имеет плотность зарядов ноль, на верхней стороне - $+\sigma$. Нижняя синяя пластина имеет на верхней стороне плотность зарядов ноль, а на нижней стороне - $+\sigma$. И, наконец, нижняя пластина имеет на нижней стороне плотность зарядов ноль, а на верхней - $-\sigma$.

Распределение зарядов

Энергию поля найдем как плотность энергии поля на объем, в котором она заключена. Плотность энергии:

$$\omega_2=\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right)^2\cdot \frac{\varepsilon_0}{2}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$$

Объем, где заключено поле:

$$V=2\cdot S\cdot \frac{d}{2}=Sd$$

Энергия поля равна

$$W_2=\omega_2 V=\frac{\sigma^2 Sd}{2\varepsilon_0}$$

А первоначально энергия была такой:

$$W_1=\omega_2\cdot 2Sd$$

Плотность энергии была такой же, а вот объем-то был больше в два раза. Поэтому работа будет отрицательной - $A=W_2-W_1<0$.

$$A=W_2-W_1=-\frac{\sigma^2 Sd}{2\varepsilon_0}=-\frac{0,3^2\cdot 10^{-18}\cdot 400\cdot 10^{-4}\cdot 0,005}{2\cdot 8,85\cdot 10^{−12}}=-10\cdot 10^{-13}$$

Ответ: -10

Задача 2.

В заряженном плоском конденсаторе находится диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2,5$, толщина которой в два раза меньше расстояния между обкладками конденсатора. Пластина параллельна обкладкам. Энергия такой системы равна $W_1=21$ мкДж.

Рисунок к задаче 2

Какую работу против сил электрического поля необходимо совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластину, если конденсатор отключён от источника питания? Ответ дайте в мкДж, округлив до десятых.

Решение. Плотность энергии поля там, где отсутствует диэлектрик, равна

$$\omega_1=\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right)^2\cdot \frac{\varepsilon_0}{2}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$$

А там, где пространство заполнено диэлектриком,

$$\omega_2=\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right)^2\cdot \frac{\varepsilon_0}{2\varepsilon}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0\varepsilon}$$

Объемы одинаковы и там, где нет диэлектрика, и там, где он есть - $V=\frac{Sd}{2}$.

Таким образом, первоначально энергия поля

$$W_1=\omega_1\frac{Sd}{2}+\omega_2\frac{Sd}{2}=21\cdot 10^{-6}$$

Если обозначить за $G=\frac{\sigma^2 Sd}{4\varepsilon_0}$, то

$$G+\frac{G}{\varepsilon}=21$$

$$G+0,4G=21$$

$$G=15$$

Новая энергия поля будет равна

$$W_2=\omega_1 Sd=\frac{\sigma^2 Sd}{2\varepsilon_0}=2G=30$$

То есть, записывая закон сохранения энергии,

$$W_1+A=W_2$$

$$A=W_2-W_1=30-21=9$$

Ответ: $A=9$ мкДж.

Задача 3

Какую работу нужно совершить, чтобы в зазор плоского воздушного заряженного конденсатора вставить другой плоский заряженный конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=3$?

Рисунок к задаче 3

Заряды на конденсаторах $q_1=10$ мкКл и $q_2=15$ мкКл, площадь каждой пластины $S=500$ см$^2$, расстояние между пластинами $d_1=5$ мм и $d_2=3$ мм. Ответ выразите в мДж, округлите до целого числа. Конденсаторы отключены от источника питания. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н$\cdot$ м$^2$.

Решение. Определяем энергию обоих конденсаторов до:

$$W_1=\frac{q_1^2}{2C}=\frac{q_1^2 d_1}{2\varepsilon_0 S}=\frac{10^{-10}\cdot 0,005}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 500\cdot 10^{-4}}=0,565$$

$$W_2=\frac{q_2^2}{2C}=\frac{q_2^2 d_2}{2\varepsilon_0\varepsilon S}=\frac{15^2\cdot 10^{-12}\cdot 0,003}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 500\cdot 10^{-4}\cdot 3}=0,254$$

$$W_1+W_2=0,819$$

Посмотрим на распределение зарядов после:

Распределение зарядов

Новые энергии конденсаторов (два «пустых» объединены в один):

 $$W_3=\frac{q_1^2}{2C_3}=\frac{q_1^2 (d_1-d_2)}{2\varepsilon_0 S}=\frac{10^{-10}\cdot 0,002}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 500\cdot 10^{-4}}=0,226$$

$$W_4=\frac{(q_1+q_2)^2}{2C_2}=\frac{(q_1+q_2)^2 d_2}{2\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{625\cdot 10^{-12}\cdot 0,003}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 500\cdot 10^{-4}\cdot 3}=0,706$$

$$W_3+W_4=0,932$$

По закону сохранения энергии

$$W_1+W_2+A=W_3+W_4$$

$$A= W_3+W_4-( W_1+W_2)=0,932-0,819=0,113$$

Ответ: 113 мДж

Задача 4.

Для того чтобы сложить вместе две одинаковые пластины с равными зарядами, которые были удалены друг от друга на большое расстояние, необходимо совершить работу 20 мкДж. Какую работу нужно совершить, чтобы сложить вместе три такие пластины? Ответ выразите в мкДж, округлите до целого числа.

Решение. Предположим, заряды на пластинах $q$. Если пластины сложить вместе, заряд величиной $q$ одной пластины окажется на расстоянии $d$ (толщина пластины), и на это потребуется 20 мкДж. Это энергия взаимодействия пластин. Теперь, если сложить три пластины, первая будет взаимодействовать со второй и с третьей, вторая – с первой и третьей, третья – с первой и третьей. При этом расстояния $1-2, 2-3, 3-2, 2-1$ равны $d$ и одинаковы, а расстояния $13$ и $31$ равны $2d$. Вот и выходит, что если энергия взаимодействия $W_{12}+W_{21}=20$ мкДж, то

$ W_{12*} +W_{13}+W_{21*}+W_{23}+W_{31}+W_{32}= W_{12}+0,5W_{21}+ W_{12}+W_{21}+ 0,5W_{12}+ W_{21}=3 (W_{12}+ W_{21})=60$$

Ответ: 60 мкДж