Задачи на определение эквивалентных емкостей

Задачи, связанные с определением эквивалентной емкости системы конденсаторов, или системы пластин, да если еще между ними вводят диэлектрик - для некоторых являются сложными. Также в таких задачах нужно уметь определять потенциалы, или заряды емкостей при различных соединениях пластин, а также и напряжения на них.

Задача 1.

Два плоских конденсатора с емкостями $C_1$ и $C_2$, обладающих зарядами $q_1$ и $q_2$, включают в цепь так, что положительно заряженная пластина одного соединяется с отрицательно заряженной пластиной другого. Определить заряд каждого конденсатора в этом случае. Соединение разноименных пластин повлечет за собой нейтрализацию части заряда. Так как  заряды будут перераспределяться, то вместе с изменением заряда конденсаторов будет меняться и напряжение:  до соединения напряжения на обоих конденсаторах разные, а после – станут одинаковыми.

К задаче 1

Тогда можно записать, что по закону сохранения заряда $$q_1-q_2=q_{11}+q_{22}$$ Где $q_{11}$ и $ q_{22}$ - новые заряды конденсаторов. После соединения напряжения уравняются: $$U_1=U_2$$ $$\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{ q_{22}}{C_2}$$ Выразим один из зарядов: $$q_{11}=\frac{C_1}{C_2} q_{22}$$ Тогда: $$ q_1-q_2=\frac{C_1}{C_2} q_{22}+q_{22}$$ $$ q_1-q_2= q_{22}\left(\frac{C_1}{C_2} +1 \right)$$ $$q_{22}=\frac{ q_1-q_2}{\left(\frac{C_1}{C_2} +1 \right)}$$ $$q_{22}=\frac{ C_2(q_1-q_2)}{C_1+C_2}$$ Тогда определим и заряд на первом конденсаторе: $$q_{11}=\frac{ C_1(q_1-q_2)}{C_1+C_2}$$ Ответ: $q_{22}=\frac{ C_2(q_1-q_2)}{C_1+C_2}$, $q_{11}=\frac{ C_1(q_1-q_2)}{C_1+C_2}$.  

Задача 2.

Рассчитать электроемкость системы, состоящей из трех металлических пластин толщиной $d$ и площадью  $S$ каждая и одной диэлектрической пластины толщиной $d$ и площадью $\frac{S}{2}$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Расположение пластин показано на рисунке.

Задача 2

Такое соединение пластин эквивалентно следующей схеме соединения конденсаторов:

К задаче 2 - эквивалентная схема замещения

Тогда емкость $C_2$ равна: $$C_2=\frac{S}{2} \frac{\varepsilon_0}{d}$$ Емкость конденсатора с диэлектриком: $$C_3=\frac{S}{2} \frac{\varepsilon_0 \varepsilon}{d}$$ Эти два конденсатора соединены параллельно, их общая емкость равна сумме емкостей: $$C_{23}=C_2+C_3=\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)$$ Емкость $C_1$ равна: $$C_1=\frac{S\varepsilon_0}{d}$$ Она соединена последовательно с объединением $C_2C_3$: $$C_{ekv}=\frac{C_1 C_{23}}{C_1+ C_{23}}=\frac{\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)\cdot\frac{S\varepsilon_0}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{2d}\left(1+\varepsilon\right)+\frac{S\varepsilon_0}{d}}$$ $$C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S\left(1+\varepsilon\right)}{2d\left(2+\varepsilon\right)}$$ Ответ: $C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S\left(1+\varepsilon\right)}{2d\left(2+\varepsilon\right)}$  

Задача 3.

Рассчитать электроемкость системы, состоящей из трех металлических пластин толщиной $d$ и площадью  $S$ каждая и двух диэлектрических пластин толщиной $d$ и площадью $\frac{S}{2}$. Диэлектрическая проницаемость первой пластины $\varepsilon_1$, второй - $\varepsilon_2$. Расположение пластин показано на рисунке.

К задаче 3

Как в предыдущей задаче, такая система пластин может быть представлена следующим соединением конденсаторов:

К задаче 3 - схема замещения

Тогда последовательное соединение $C_1$ и $C_2$ $$C_{12}=\frac{C^2}{2C}=\frac{C}{2}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}$$ Емкости конденсаторов с диэлектриком: $$C_3=\frac {\varepsilon_0\varepsilon_1 S }{2d}$$ $$C_4=\frac {\varepsilon_0\varepsilon_2 S }{2d}$$ Так как они соединены параллельно, то их эквивалентная емкость – сумма их емкостей. $$C_{34}=C_3+C_4=\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)$$ Наконец, считаем последовательное соединение $C_{12}$ и $C_{34}$: $$C_{ekv}=\frac{C_{12}C_{34}}{ C_{12}+C_{34}}$$ $$C_{ekv}=\frac{\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)}{\frac{\varepsilon_0 S }{2d}+\frac {\varepsilon_0 S }{2d}(\varepsilon_1 +\varepsilon_2)}$$ $$C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac{\varepsilon_1 +\varepsilon_2}{ 1+\varepsilon_1 +\varepsilon_2}$$ Ответ: $C_{ekv}=\frac{\varepsilon_0 S }{2d}\frac{\varepsilon_1 +\varepsilon_2}{ 1+\varepsilon_1 +\varepsilon_2}$

Задача 4.

Плоский конденсатор находится во внешнем электрическом поле напряженностью $E=10^3$ В/м, перпендикулярном пластинам. Площадь пластины конденсатора $S=10^{-2}$ м$^2$. Какие заряды окажутся на каждой из пластин, если конденсатор замкнуть проводником накоротко? Пластины конденсатора до замыкания не заряжены. Влиянием силы тяжести пренебречь. Заряд конденсатора $q=CU=\frac{\varepsilon_0 S }{d}U$   Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле равно: $U=Ed$ Тогда заряд $$q=\frac{\varepsilon_0 S Ed}{d}=\varepsilon_0 S E=8,85\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}\cdot10^3=0,9\cdot10^{-10}$$ Ответ: $q=0,9\cdot10^{-10}$  

Задача 5.

В схеме емкость батареи конденсаторов не изменится при замыкании ключа К. Определите емкость конденсатора $C_x$.

К задаче 5

До замыкания ключа имеем две ветви в параллель. В одной ветви (сверху) – последовательное соединение $C$ и $2C$, во второй (снизу) – последовательное соединение $C_x$ и $C$. Тогда для верхней ветви запишем: $$C_{verh}=\frac{2C\cdot C}{2C+C}=\frac{2C}{3}$$ Для нижней ветви: $$C_{niz}=\frac{C_x\cdot C}{C_x+C}$$ Так как ветви соединены параллельно, емкости сложатся: $$ C_{ekv1}=C_{verh}+ C_{niz}=\frac{2C}{3}+\frac{C_x\cdot C}{C_x+C}$$ $$ C_{ekv1}=C _{verh}+ C_{niz}=\frac{2C(C_x+C)+3C_xC}{3(C_x+C)}$$ Теперь ключ замыкают, и оказывается, что емкости $C_x$ и $C$ соединены параллельно, и также параллельно  соединены и емкости $C$ и $2C$. Емкость левой части схемы: $$C_{lev}=C+C_x$$ Емкость правой части схемы: $$C_{prav}=2C+C=3C$$ Эквивалентная емкость после замыкания: $$C_{ekv2}=\frac{3C(C_x+C)}{4C+C_x}$$ В задаче сказано, что как до, так и после замыкания емкость всей системы одна и та же, тогда приравняем обе эквивалентные емкости: $$ C_{ekv1}= C_{ekv2}$$ $$\frac{2C(C_x+C)+3C_xC}{3(C_x+C)}= \frac{3C(C_x+C)}{4C+C_x}$$ Упрощаем: $$\frac{5C_x+2C)}{3(C_x+C)}= \frac{3(C_x+C)}{4C+C_x}$$ $$9(C_x+C)^2=20CC_x+5c_x^2+8C^2+2CC_x$$ $$9C_x^2+18CC_x+9C^2-8C^2-5C_x^2-22CC_x=0$$ Или получаем квадратное уравнение: $$4C_x^2-4CC_x+C^2=0$$ $$D=16C^2-4\cdot4C^2=0$$ $$C_x=\frac{C}{2}$$ Ответ: $C_x=\frac{C}{2}$  

Задача 6.

Три незаряженных конденсатора, емкости которых  $C_1$,  $C_2$ и $C_3$, соединены, как показано на рисунке, и подключены к точкам $A$, $B$ и $K$, потенциалы которых $\varphi_A$, $\varphi_B$  и $\varphi_K$. Определите потенциал точки $O$.

К задаче 6

Заряд первой емкости равен: $$q_1=C_1(\varphi_A-\varphi_O)$$ Аналогично для двух других емкостей: $$q_2=C_2(\varphi_B-\varphi_O)$$ $$q_1=C_3(\varphi_K-\varphi_O)$$ Заряд в точке $O$ равен сумме зарядов всех конденсаторов  и равен 0: $$q_O=q_1+q_2+q_3=0$$ $$C_1(\varphi_A-\varphi_O)+ C_2(\varphi_B-\varphi_O)+ C_3(\varphi_K-\varphi_O)=0$$ $$\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3=\varphi_O(C_1+C_2+C_3)$$ Откуда потенциал точки $O$ равен $$\varphi_O=\frac{\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3}{ C_1+C_2+C_3}$$ Ответ: $\varphi_O=\frac{\varphi_AC_1+\varphi_B C_2+\varphi_K C_3}{ C_1+C_2+C_3}$