Сохранение энергии в задачах с емкостями: задачи Сириуса

Задача 1.

В цепи, изображённой на рисунке, ёмкости конденсаторов равны $C=40$ мкФ. Один из конденсаторов заряжен до напряжения $U=100$ В, а второй не заряжен.

Рисунок к задаче 1

Какое количество теплоты выделится в цепи за очень большое время после замыкания ключа? Ответ выразите в Дж, округлите до сотых.

Решение. Сначала заряженный конденсатор поделится зарядом с незаряженным, а уж потом они оба будут медленно разряжаться через резистор. Энергия при этом будет превращаться в тепло (необратимо). То есть выделится энергия, которая присутствует на конденсаторах в момент, когда напряжения на них выровнялись. Выравнивание напряжений произойдет очень быстро, почти мгновенно.

Заряд на первом, заряженном конденсаторе, равен

$$q_1=CU=40\cdot 10^{-6}\cdot 100=4\cdot 10^{-3}$$

Конденсаторы соединены последовательно, у них одинаковы емкости, значит, на обоих равный заряд, и это 2 мКл. Таким образом, напряжения на конденсаторах

$$U_1=\frac{q}{C}=\frac{2\cdot 10^{-3}}{40\cdot 10^{-6}}=\frac{2000}{40}=50$$

Теперь можно и выделившееся тепло найти (удвоим, потому что конденсаторов два):

$$Q=2\cdot\frac{CU_1^2}{2}=CU_1^2=40\cdot 10^{-6}\cdot 50^2=0,1$$

Ответ: 0,1 Дж

Задача 2.

Какое количество тепла выделится в цепи, показанной на рисунке, при замыкании ключа? ЭДС $E=9$ В, ёмкость $C=60$ мкФ. Ответ выразите в мДж, округлите до сотых. До подключения в указанную схему конденсаторы были не заряжены.

Рисунок к задаче 2

Решение. Подумаем, что было вначале (до замыкания ключа). Конденсаторы соединены последовательно, они зарядятся до одинакового заряда. При этом суммарное напряжение на них равно $E$:

$$E=U_1+U_2$$

$$q_1=CU_1=2CU_2=q_2$$

Значит,

$$U_1=2U_2$$

И $U_1=6$ В, $U_2=3$ В, $q_1=q_2=6C=0,36\cdot 10^{-3}$.

Какими были энергии конденсаторов?

$$W_1=\frac{CU_1^2}{2}=18C=1,08\cdot 10^{-3}$$

$$W_2=\frac{2CU_2^2}{2}=9C=0,54\cdot 10^{-3}$$

Теперь смотрим, что случилось с замыканием ключа. Тока-то в цепи нет (в установившемся режиме)! Значит, напряжение на конденсаторе $2C$ равно нулю и равен нулю его заряд, как и его энергия! Тогда напряжение на конденсаторе $C$ равно $E$, его заряд $q=CE$, а его энергия

$$W=\frac{CE^2}{2}=40,5C=2,43\cdot 10^{-3}$$

При этом заряд на нем изменился с $q_1=6C$ до $q=CE=9C$, то есть заряд дополнительно притек с источника. А следовательно, источник совершил положительную работу

$$A=3CE=3\cdot 60\cdot 10^{-6}\cdot 9=1,62\cdot 10^{-3}$$

Наконец, составляем уравнение по закону сохранения энергии:

$$W_1+W_2+A=W+Q$$

$$Q= W_1+W_2+A-W=1,08\cdot 10^{-3}+0,54\cdot 10^{-3}+1,62\cdot 10^{-3}-2,43\cdot 10^{-3}=0,81\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 0,81 мДж