Сохранение энергии в задачах с емкостями и источниками ЭДС: задачки Сириуса

Задача 1.

Какое количество тепла выделится в цепи при переключении ключа K из положения 1 в положение 2? ЭДС $\varepsilon=12$ В, ёмкость конденсатора $C=30$ мкФ. Ответ выразите в мДж, округлив до сотых.

Рисунок к задаче

Решение. Обратим внимание на то, что источники включены встречно. То есть, если ключ в положении 1, то источники включены последовательно и при этом их можно заменить одним, так, как показано на рисунке:

Первое положение ключа

Таким образом, энергия конденсатора

$$W_1=\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

И правая обкладка заряжена положительно, заряд конденсатора $C\varepsilon$.

Когда ключ переводят в положение 2, то конденсатор снова оказывается подключен к источнику с ЭДС $\varepsilon$:

Второе положение ключа

И опять энергия конденсатора

$$W_2=\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

Но правая обкладка заряжена отрицательно, заряд конденсатора $C\varepsilon$. Значит, через источник протек заряд $2C\varepsilon$, и работа источника

$$A=2C\varepsilon\cdot \varepsilon=2C\varepsilon^2$$

По закону сохранения энергии

$$W_1+A=W_2+Q$$

$$Q=A=2C\varepsilon^2=2\cdot 30\cdot 10^{-6}\cdot 144=8,64\cdot10^{-3}$$

Ответ: 8,64 мДж.

 

Задача 2.

Какое количество тепла выделится в цепи при переключении ключа K из положения 1 в положение 2? ЭДС $\varepsilon=90$ В, ёмкость $C=16$ мкФ. Ответ выразите в мДж, округлите до десятых. До подключения в указанную схему конденсаторы были не заряжены.

Рисунок к задаче 2

Решение. Если ключ в положении 1, то конденсаторы $C$ и $5C$ включены параллельно, их общая емкость равна $6C$, и вкупе с конденсатором $2C$ (включенным с ними последовательно) полная общая емкость схемы

$$C_{01}= \frac{6C\cdot 2C}{6C+2C}=1,5C$$

Заряд такого конденсатора $1,5C\varepsilon$. Посмотрим, какие заряды на обкладках:

Первое положение ключа

 

Заряды на обкладках

Энергия, накопленная на всех конденсаторах,

$$W_1=\frac{1,5C\varepsilon^2}{2}$$

Далее мы переводим ключ в положение 2 и теперь уже картина такая:

Второе положение ключа

Конденсаторы $C$ и $2C$ включены параллельно, их общая емкость равна $3C$, и вкупе с конденсатором $5C$ (включенным с ними последовательно) полная общая емкость схемы

$$C_{02}= \frac{5C\cdot 3C}{5C+3C}=\frac{15}{8}C$$

Заряд такого конденсатора $\frac{15}{8}C\varepsilon$. Посмотрим, какие заряды на обкладках:

Заряды на обкладках во втором случае

Обратим внимание, что та обкладка конденсатора $C$, которая имела положительный заряд $0,25C\varepsilon$, теперь имеет отрицательный заряд $-\frac{5}{8}C\varepsilon$.

Энергия, накопленная на всех конденсаторах,

$$W_2=\frac{15C\varepsilon^2}{8\cdot 2}$$

Определим работу источника. Заряд нижней обкладки конденсатора $2C$ был $-1,5C\varepsilon=-\frac{12}{8} C\varepsilon $, а стал $-\frac{10}{8}C\varepsilon$ - заряд $-\frac{2}{8} C\varepsilon$ протек через источник (в положительном направлении). Заряд верхней обкладки конденсатора $C$ был $0,25C\varepsilon=\frac{2}{8}C\varepsilon$, а стал (теперь это уже нижняя обкладка) $-\frac{5}{8}C\varepsilon$ - то есть через источник в положительном направлении протек заряд $\frac{7}{8}C\varepsilon$. Значит, по итогу через источник в положительном направлении протек суммарный заряд

$$-\frac{2}{8} C\varepsilon+\frac{7}{8}C\varepsilon=\frac{5}{8}C\varepsilon$$

И работа источника

$$A_b=\frac{5}{8}C\varepsilon\cdot \varepsilon=\frac{5}{8}C\varepsilon^2$$

Составляем уравнение по закону сохранения энергии:

$$W_1+ A_b=W_2+Q$$

$$Q= W_1+ A_b-W_2=\frac{1,5C\varepsilon^2}{2}+\frac{5}{8}C\varepsilon^2-\frac{15C\varepsilon^2}{8\cdot 2}$$

$$Q=\frac{12C\varepsilon^2}{16}+\frac{10}{16}C\varepsilon^2-\frac{15C\varepsilon^2}{16}=\frac{7}{16}C\varepsilon^2$$

$$Q=\frac{7}{16}\cdot 16\cdot 10^{-6}\cdot 90^2=56,7\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 56,7 мДж.

 

Задача 3.

Конденсатор ёмкостью $C=50$ мкФ, заряженный до напряжения $\varepsilon=12$ В, подключается через резистор с большим сопротивлением к батарее с ЭДС $3\varepsilon $. Определите количество теплоты, которое выделится в цепи при зарядке конденсатора до напряжения $3\varepsilon $. Ответ выразите в мДж, округлите до десятых.

Рисунок к задаче 3

Решение. Энергия конденсатора до замыкания ключа

$$W_1=\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

А после

$$W_2=\frac{C(3\varepsilon)^2}{2}$$

Первоначальный заряд $q_1=C\varepsilon$, конечный $3C\varepsilon$, причем правая пластина имела заряд $+ C\varepsilon$, а приобрела заряд $+3 C\varepsilon$ - значит, через батарею пробежало $2C\varepsilon$, и работа батареи

$$A_b=2C\varepsilon \cdot 3\varepsilon=6C\varepsilon^2$$

Составляем уравнение по закону сохранения энергии:

$$W_1+ A_b=W_2+Q$$

$$Q= W_1+ A_b-W_2=\frac{C\varepsilon^2}{2}+6C\varepsilon^2-\frac{9C\varepsilon^2}{2}=2C\varepsilon^2$$

$$Q=2\cdot 50\cdot 10^{-6}\cdot 144=14,4\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 14,4 мДж

 

Задача 4.

В цепи, показанной на рисунке, ёмкость конденсаторов равна $C=50$ мкФ, ЭДС источника $\varepsilon=12$ В. Конденсаторы заряжены до напряжений $2\varepsilon$ и $3\varepsilon$. Какое количество теплоты выделится в цепи за очень большое время после замыкания ключа? Ответ выразите в мДж, округлите до десятых.

Рисунок к задаче 4

Решение. Обратим внимание на то, что конденсаторы соединены обкладками одного знака. То есть первоначальный заряд, уже накопленный на них - $2C\varepsilon+3C\varepsilon=5C\varepsilon$ - при замыкании ключа никуда не денется. Он заперт. Таким образом, он может и должен перераспределиться, но так, что сумма напряжений на конденсаторах равна будет $\varepsilon$ - по второму закону Кирхгофа. То есть один из конденсаторов окажется включенным «неправильно» - встречно.

Заряды на обкладках

Так как суммарная энергия конденсаторов не поменялась, то выделившееся тепло равно работе батареи:

$$Q=A_b=C\varepsilon\cdot \varepsilon=C\varepsilon^2=7,2\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 7,2 мДж