Шарики и частицы в конденсаторах

Задача 1.

Шарик массой 1 г подвешен на нити в конденсаторе, обкладки которого расположены горизонтально. Период колебаний шарика в незаряженном конденсаторе $T_1=0,628$ c.  После того, как конденсатор и шарик зарядили, период колебаний шарика уменьшился в $n=2$ раза. С какой по величине силой $F$ электрическое поле конденсатора действовало на шарик? Определите период $T_3$ колебаний шарика при перемене знака заряда на нем.

Решение. Сначала колебания происходили под действием силы тяжести, а потом – под действием суммы сил (тяжести и силы со стороны электрического поля)

$$T_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

$$T_2=\frac{T_1}{2}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$$

$$\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$$

$$\sqrt{\frac{1}{g}}=\sqrt{\frac{4}{g+a}}$$

Откуда $4g=g+a$.

$$a=3g$$

$$F=ma=0,001\cdot 3\cdot 10=0,03$$

При перемене знака заряда направление силы изменится. Поэтому

$$T_3=2\pi\sqrt{\frac{l}{a-g}}$$

$$T_3=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=\frac{T_1}{\sqrt{2}}=\frac{0,628}{\sqrt{2}}=0,44$$

Ответ: $F=0,03$ Н, $T_3=0,44$ с.

Задача 2.

Поток электронов, пройдя ускоряющую разность потенциалов 5000 В, влетает в середину между двумя плоскими металлическими пластинами параллельно им. Какое минимальное напряжение нужно приложить к пластинам, чтобы электроны не вылетели из них? Длина пластин 5 см, расстояние между ними 1 см.

Решение: определим скорость электронов в потоке:

$$qU_{usk}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2q U_{usk}}{m}}$$

Электроны находятся в 0,5 см от каждой из пластин. Значит, по мере продвижения вдоль пластин электрон должен смещаться к одной из пластин и прилипнуть к ней еще до своего вылета. То есть за одно и то же время электрон пролетает вдоль всего конденсатора и одновременно смещается на 0,5 см перпендикулярно пластинам. На него будет действовать сила

$$F=qE=q\frac{U}{d}$$

Ускорение электрона

$$a=\frac{F}{m}=\frac{qU}{md}$$

Пройденное расстояние

$$\frac{d}{2}=\frac{at^2}{2}=\frac{qUt^2}{2md}$$

Отсюда

$$t=d\sqrt{\frac{m}{qU}}$$

С другой стороны, электрон находится между пластинами в течение времени

$$t=\frac{l}{\upsilon}=l\sqrt{\frac{m}{2q U_{usk}}}$$

Приравниваем время

$$ d\sqrt{\frac{m}{qU}}= l\sqrt{\frac{m}{2q U_{usk}}}$$

$$ d\sqrt{\frac{1}{U}}= l\sqrt{\frac{1}{2 U_{usk}}}$$

$$U=\frac{2 U_{usk}d^2}{l^2}=400$$

Ответ: $U=400$ В.

Задача 3.

К бесконечной вертикальной плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой $m=5$ г и зарядом $q=11,8$ нКл.  Нить образует с плоскостью угол $\alpha=45^{\circ}$.  Определить поверхностную плотность $\sigma$ заряда на плоскости.

Решение.

$$F_q=Eq=\frac{\sigma}{2\varepsilon \varepsilon_0}q=mg$$

$$\sigma=\frac{mg\cdot 2\varepsilon \varepsilon_0}{q}=\frac{0,005\cdot 10\cdot 2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}{11,8\cdot 10^{-9}}=0,075\cdot 10^{-3}$$

Ответ: $\sigma=0,075\cdot 10^{-3}$