Потенциальные и емкостные коэффициенты: задачи Сириуса

Рассмотрим $N$ проводников с зарядами $q_i$. Пусть при этом потенциалы проводников принимают значения $\varphi_i$.

Потенциалы линейно зависят от зарядов. Коэффициенты этой зависимости называются потенциальными коэффициентами ($p_{11}, p_{12}, \ldots, p_{NN}$).

$$\varphi_1=p_{11}q_1+p_{12}q_2+ \ldots +p_{1N}q_n$$

$$\varphi_2=p_{21}q_1+p_{22}q_2+ \ldots +p_{2N}q_n$$

$$\varphi_N=p_{N1}q_1+p_{N2}q_2+ \ldots +p_{NN}q_n$$

 Эти соотношения можно рассматривать, как $N$ линейных уравнений относительно $N$ неизвестных зарядов $q_i$ . Решая эти уравнения, получим:

$$q_1 =C_{11}\varphi_1+C_{12}\varphi_2+ \ldots+C_{1N}\varphi_N$$

$$q_2 =C_{21}\varphi_1+C_{22}\varphi_2+ \ldots+C_{2N}\varphi_N$$

$$q_N =C_{N1}\varphi_1+C_{N2}\varphi_2+ \ldots+C_{NN}\varphi_N$$

Здесь $C_{kn}$ — емкостные коэффициенты.

Поясним, почему зависимость между потенциалами и зарядами проводников линейная. Задачу, в которой все проводники поддерживаются под наперед заданными потенциалами, обозначим, как ($\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_N$).

Рассмотрим задачу, в которой отличен от нуля потенциал только одного проводника ($0,\ldots, 0,\varphi_k, 0, \ldots, 0$). В этой задаче заряды $q_i$ всех проводников пропорциональны величине этого потенциала $\varphi_k$ аналогично тому, как это было доказано для одного и для двух проводников. То есть

$$q_n=C_{nk}\varphi_k$$

Где $C_{nk}$ — коэффициенты пропорциональности.

Придумаем решение для потенциала в задаче ($\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_N$) в виде суммы решений задач ($0,\ldots, 0,\varphi_k, 0, \ldots, 0$) по разным $k$. Это придуманное решение удовлетворяет потенциалам на всех границах проводников и удовлетворяет уравнению $\Delta \varphi=0$ в объеме между проводниками. В таком случае по теореме единственности решение задачи ($\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_N$) будет равно именно придуманному решению.

Заряды на проводниках при суммировании решений суммируются, так как суммируются напряженности в любой точке объема, суммируются проекции напряженности на нормаль к поверхности проводника в каждой точке поверхностей проводников, суммируются поверхностные плотности зарядов, суммируются полные заряды на проводниках. В результате

$$q_n=\sum_{k} {C_{nk}\varphi_k}$$

Рассмотрим конденсатор, заряды пластин которого $q_1$ и $q_2=-q_1$.

Тогда

$$q_1=C_{11}\varphi_1+C_{12}\varphi_2$$

$$q_2=C_{21}\varphi_1+C_{22}\varphi_2$$

$$q_1+q_2=0$$

$$ C_{11}\varphi_1+C_{12}\varphi_2+ C_{21}\varphi_1+C_{22}\varphi_2=0$$

$$ (C_{11}+C_{21})\varphi_1=-(C_{12}+C_{22})\varphi_2$$

$$\varphi_1=-\varphi_2\frac{C_{12}+C_{22}}{ C_{11}+C_{21}}$$

$$\varphi_2=-\varphi_1\frac{C_{21}+C_{11}}{ C_{22}+C_{12}}$$

Подставим в заряд:

$$q_1=C_{11}\varphi_1-C_{12}\varphi_1\frac{C_{21}+C_{11}}{ C_{22}+C_{12}}$$

$$q_1=\frac{C_{11}(C_{22}+C_{12})\varphi_1- C_{12}\varphi_1(C_{21}+C_{11})}{ C_{22}+C_{12}}$$

$$q_1=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}^2)}{ C_{22}+C_{12}}\varphi_1$$

Найдем разность потенциалов:

$$\varphi_1-\varphi_2=\varphi_1+\varphi_1\frac{C_{21}+C_{11}}{ C_{22}+C_{12}}=\varphi_1\left(1+\frac{C_{21}+C_{11}}{ C_{22}+C_{12}}\right)$$

$$\varphi_1-\varphi_2=\varphi_1\left(\frac{C_{22}+C_{12}+C_{21}+C_{11}}{ C_{22}+C_{12}}\right)= \varphi_1\frac{C_{22}+ C_{11}+2C_{12}}{ C_{22}+C_{12}}$$

Емкость конденсатора – заряд, деленный на разность потенциалов:

$$C=\frac{q_1}{\varphi_1-\varphi_2}=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}^2}{ C_{22}+C_{12}}\cdot \frac{ C_{22}+C_{12}}{C_{22}+ C_{11}+2C_{12}}=\frac{ C_{11}C_{22}-C_{12}^2}{ C_{22}+ C_{11}+2C_{12}}$$

 

Задача 1.

Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами 10 см и 20 см. Назовём внутреннюю сферу первым проводником, а внешнюю сферу — вторым проводником. Чему равен потенциальный коэффициент $p_{11}$? Убедитесь в том, что $p_{12}=p_{21}$. Чему равен $p_{12}$? Чему равен $p_{22}$? Ответы выразите в ГВ/Кл, округлив до целого числа.

Решение. Запишем потенциал внешней сферы:

$$\varphi_2=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}=p_{21}q_1+p_{22}q_2$$

Откуда

$$ p_{21}=\frac{k}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9}{0,2}=45\cdot 10^9$$

$$ p_{22}=\frac{k}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9}{0,2}=45\cdot 10^9$$

Запишем потенциал внутренней сферы:

$$\varphi_1=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kq_2}{R_2}=p_{11}q_1+p_{12}q_2$$

Откуда

$$ p_{11}=\frac{k}{R_1}=\frac{9\cdot 10^9}{0,1}=90\cdot 10^9$$

$$ p_{12}=\frac{k}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9}{0,2}=45\cdot 10^9$$

Ответ: $p_{11}=90$ ГВ/Кл, $p_{12}=p_{21}=p_{22}=45$ ГВ/Кл.

Задача 2.

Металлический шарик радиусом 1 см окружён концентрической сферической оболочкой, радиус внутренней поверхности которой равен 9 см, толщина оболочки неизвестна. Определите ёмкостные коэффициенты $C_{12}$ и $C_{21}$ для этой системы проводников. Ответ выразите в пКл/В, округлив до сотых.

Решение. Запишем потенциал внешней сферы:

$$\varphi_2=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}=p_{21}q_1+p_{22}q_2$$

Запишем потенциал внутренней сферы:

$$\varphi_1=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kq_2}{R_2}=p_{11}q_1+p_{12}q_2$$

Откуда

$$\frac{kq_2}{R_2}=\varphi_1-\frac{kq_1}{R_1}$$

Подставим в первое уравнение:

$$\varphi_2=\frac{kq_1}{R_2}+\varphi_1-\frac{kq_1}{R_1}$$

Выразим $q_1$:

$$q_1k\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)= \varphi_1-\varphi_2$$

$$q_1=\frac{\varphi_1}{ k\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}-\frac{\varphi_2}{ k\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}$$

Так как

$$q_1=C_{11}\varphi_1+C_{12}\varphi_2$$

То

$$ C_{12}=\frac{1}{ k\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)}=\frac{1}{9\cdot10^9\left(\frac{1}{0,01}-\frac{1}{0,09}\right)}=-1,25\cdot 10^{-12}$$

Ответ: -1,25 пКл/В.

 

Задача 3.

Система состоит из двух проводников, удалённых от всех других проводников. Первому проводнику сообщили заряд 3 нКл, а второму — 6 нКл. Их потенциалы относительно бесконечности оказались равными 45 В и 27 В соответственно. Затем второй проводник заземлили, и потенциал первого проводника стал равным 18 В. Определите ёмкость конденсатора, составленного из этих двух проводников. Ответ выразите в нФ, округлив до сотых.

Решение. Составим систему уравнений, включим в нее уравнения с потенциальными коэффициентами:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} \varphi_1=p_{11}q_1+p_{12}q_2 \\ \varphi_2=p_{21}q_1+p_{22}q_2 \\  \varphi_3=p_{11}q_3+p_{12}q_4 \\ \varphi_4=p_{21}q_3+p_{22}q_4 \end{matrix}$$

Перепишем с численными данными:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 45=p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}+p_{12}\cdot 6\cdot 10^{-9}\\ 27=p_{21}\cdot 3\cdot 10^{-9}+p_{22}\cdot 6\cdot 10^{-9}\\  18=p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}+p_{12}q_4 \\ 0=p_{21}\cdot 3\cdot 10^{-9}+p_{22}q_4 \end{matrix}$$

Из последнего уравнения:

$$p_{22}=-\frac{p_{21}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{q_4}$$

Из предпоследнего:

$$q_4=\frac{18- p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{p_{12}}$$

Подставим это:

$$p_{22}=-\frac{p_{21}^2\cdot 3\cdot 10^{-9}}{18- p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}}$$

А теперь этот коэффициент – во второе уравнение системы:

$$27= p_{21}\cdot 3\cdot 10^{-9}-6\cdot 10^{-9}\cdot \frac{p_{21}^2\cdot 3\cdot 10^{-9}}{18- p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}}$$

Обозначим $ p_{21}\cdot 10^{-9}=x$, тогда

$$27=3x-\frac{18x}{6x-27}$$

Решаем:

$$\frac{27(6x-27)-3x(6x-27)+18x}{6x-27}=0$$

$$-27^2+6\cdot 27x+81x=0$$

$$-27+6x+3x=0$$

$$x=3$$

Следовательно,

$$p_{21}=3\cdot 10^9$$

Из первого

$$p_{11}=\frac{45- p_{12}\cdot 6\cdot 10^{-9}}{3\cdot 10^{-9}}$$

$$p_{11}=15\cdot 10^9-6\cdot 10^9=9\cdot 10^9$$

$$p_{22}=-\frac{p_{21}^2\cdot 3\cdot 10^{-9}}{18- p_{11}\cdot 3\cdot 10^{-9}}$$

$$p_{22}=3\cdot 10^9$$

Емкостные и потенциальные коэффициенты связаны так:

$$C_{11}=\frac{p_{22}}{D}$$

$$C_{12}=-\frac{p_{12}}{D}$$

$$C_{21}=-\frac{p_{21}}{D}$$

$$C_{22}=\frac{p_{11}}{D}$$

Где $D=p_{11}p_{22}-p_{12}p_{21}$.

Определим $D$:

$$D=27\cdot 10^{18}-9\cdot 10^{18}=18\cdot 10^{18}$$

Теперь найдем емкостные коэффициенты:

$$C_{11}=\frac{p_{22}}{D}=\frac{3\cdot 10^9}{18\cdot 10^{18}}=\frac{1}{6}\cdot 10^{-9}$$

$$C_{12}=-\frac{p_{12}}{D}=-\frac{3\cdot 10^9}{18\cdot 10^{18}}=-\frac{1}{6}\cdot 10^{-9}=C_{21}$$

$$C_{22}=\frac{p_{11}}{D}=\frac{9\cdot 10^9}{18\cdot 10^{18}}=\frac{1}{2}\cdot 10^{-9}$$

Емкость конденсатора будет тогда равна

$$C=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}^2}{C_{11}+C_{22}+2C_{12}}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{6}}\cdot 10^{-9}$$

$$C=\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}}\cdot 10^{-9}=\frac{1}{6}\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 0,17 нФ