Плотность энергии поля и сила взаимодействия пластин конденсатора

Задача 1.

 Плотность энергии заряженного конденсатора $\omega=300$ Дж/м$^3$. С какой силой взаимодействуют обкладки конденсатора, если их площадь $S=10^{-2}$ м$^2$?

Решение. По определению,

$$\omega=\frac{W}{V}=\frac{W}{Sd}$$

А силу можно записать как

$$F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}=\frac{C^2U_2}{2\varepsilon_0S }=\frac{WC}{\varepsilon_0S }$$

Но $C=\frac{\varepsilon_0S }{d}$

То есть

$$F=\frac{WC}{\varepsilon_0S }=\frac{W}{d}=\frac{\omega Sd}{d}=\omega S=3$$

Ответ: 3 Н.

Задача 2.

С какой силой взаимодействуют пластины плоского воздушного конденсатора площадью $S=0,01$ м$^2$, если напряжение $U=500$ и расстояние между ними $d=3\cdot 10^{-3}$ м?

Решение. Пользуемся формулой из предыдущей задачи:

$$F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}=\frac{C^2U_2}{2\varepsilon_0S }$$

$$F=\frac{C^2E^2d^2}{2\varepsilon_0S }$$

Но $\varepsilon_0S=Cd$,

$$F=\frac{C^2E^2d^2}{2Cd}=\frac{CE^2d}{2}=\frac{\varepsilon_0 S E^2}{2}$$

$$F=\frac{\varepsilon_0 S U^2}{2d^2}=\frac{8,85\cdot10^{-12}\cdot 0,01\cdot 500^2}{2\cdot9\cdot 10^{-6}}=1,2\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 1,2 мН.

Задача 3.

Две большие параллельные пластины с поверхностными плотностями зарядов $3\sigma$  и $\sigma$ отталкиваются друг от друга с силой $F=5$ мН. Расстояние между пластинами $d=0,6$ мм. Чему равна энергия электростатического поля, сосредоточенного между пластинами?

Решение. Рассмотрим пластину с зарядом $q=\sigma S$, находящуюся в поле другой пластины, напряженность которого

$$E_1=\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Сила их взаимодействия

$$F=E_1\cdot q=\frac{\sigma S\cdot 3\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{3\sigma^2 S}{2\varepsilon_0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Пластины заряжены одноименно (отталкиваются), поэтому напряженность поля между ними

$$E=E_1-E_2=\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

Энергию поля можно посчитать как

$$W=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2V=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2Sd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

$$W=\frac{1}{2}\varepsilon_0 Sd\cdot \frac{\sigma^2}{\varepsilon_0^2}=\frac{1}{2}Sd\cdot \frac{\sigma^2}{\varepsilon_0}$$

Выразим из (1) $\sigma^2$:

$$\sigma^2=\frac{2F\varepsilon_0}{3S}$$

И подставим в (2):

$$W=\frac{1}{2}Sd\cdot \frac{2F\varepsilon_0}{3S\varepsilon_0}$$

$$W=\frac{Fd}{3}=\frac{5\cdot 10^{-3}\cdot 6\cdot 10^{-4}}{3}=10^{-6}$$

Ответ: 1 мкДж.

Задача 4.

Плотность энергии электростатического поля, локализованого между двумя параллельными, равномерно заряженными пластинами, $\omega=0,1$ Дж/м$^3$. Сила их взаимного притяжения $F=4$ мН. Площади пластин 100 см$^2$. Найти заряды пластин.

Решение. Аналогично предыдущей задаче, рассмотрим одну пластину в поле другой.

$$E_1=\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}$$

$$q_2=\sigma_2 S$$

Сила взаимодействия

$$F=\frac{\sigma_1\sigma_2S}{2\varepsilon_0}$$

Откуда

$$\sigma_1\sigma_2=\frac{2\varepsilon_0 F}{S}$$

Энергию поля можно посчитать как

$$W=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2V=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2Sd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

$$\omega Sd =\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 Sd$$

$$\omega  =\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 $$

Пластины заряжены разноименно (притягиваются), поэтому напряженность поля между ними

$$E=E_1+E_2=\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2\varepsilon_0}$$

Тогда

$$\omega  =\frac{1}{2}\varepsilon_0S \cdot \frac{(\sigma_1+\sigma_2)^2}{4\varepsilon_0^2}=\frac{(\sigma_1+\sigma_2)^2}{8\varepsilon_0}$$

Откуда

$$(\sigma_1+\sigma_2)^2=8\omega \varepsilon_0$$

Получили систему уравнений относительно поверхностных плотностей зарядов. Осталось ее решить.

$$\sigma_1\sigma_2=\frac{2\varepsilon_0 F}{S}$$

$$(\sigma_1+\sigma_2)^2=8\omega \varepsilon_0$$

Переходим к самим зарядам

$$(q_1+q_2)^2=8\omega \varepsilon_0 S^2$$

$$q_1q_2=2\varepsilon_0 FS$$

Здесь везде модули поверхностных плотностей и модули зарядов, соответственно. Знаки мы учли ранее, когда складывали напряженности.

$$q_1+q_2=\sqrt{8\omega \varepsilon_0 S^2}$$

$$q_1(\sqrt{8\omega \varepsilon_0 S^2}-q_1)=2\varepsilon_0 FS$$

Имеем квадратное уравнение относительно $q_1$:

$$q_1^2-\sqrt{8\omega \varepsilon_0 S^2}q_1+2\varepsilon_0 FS=0$$

$$D=8\omega \varepsilon_0 S^2-8F\varepsilon_0 S$$

Корни

$$q_1=\sqrt{2\varepsilon_0\omega S^2}\pm \sqrt{2\varepsilon_0S(\omega S-F)}$$

При таких данных, какие указаны в задаче, под вторым корнем оказывается отрицательное выражение. Поэтому дальнейшие подсчеты не привожу. При площади пластин $S=1000$ см$^2$ задача имеет решение.

Ответ: $q_1=\sqrt{2\varepsilon_0\omega S^2}\pm \sqrt{2\varepsilon_0S(\omega S-F)}$ - это выражение даст модули обоих зарядов.