Плоский конденсатор: емкость, напряжение, напряженность и прочее

В этой статье мы начнем разбирать конденсаторы "по косточкам". Мы узнаем,  как зависит напряжение на конденсаторе от расстояния между пластин, в чем отличие поведения конденсатора в случаях, когда он подключен к источнику и когда нет. В последующих статьях - продолжение.

Задача 1.

Найти емкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер радиусами $R_1 = 0,01$ м и $R_2= 0,0105$ м. Пространство между сферами заполнено маслом. Какого радиуса должен быть изолированный шар, чтобы он имел емкость, равную емкости такого конденсатора?

Как известно,

$$C=\frac{q}{U}=\frac{q}{\varphi_1-\varphi_2}$$

Запишем потенциалы сфер:

$$\varphi_1=\frac{k q}{\varepsilon r_1}$$

$$\varphi_2=\frac{k q}{\varepsilon r_2}$$

Разность потенциалов:
$$\varphi_1-\varphi_2=\frac{k q}{\varepsilon}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)= \frac{k q(r_2-r_1)}{\varepsilon r_1 r_2}$$

Тогда емкость конденсатора равна (диэлектрическая проницаемость масла равна $\varepsilon=2,2$):

$$C=\frac{q\varepsilon r_1 r_2}{ k q(r_2-r_1) }=\frac{\varepsilon r_1 r_2}{ k(r_2-r_1) }=\frac{2,2\cdot0,01\cdot 0,0105}{9\cdot10^9(0,0105-0,01)}=5,1\cdot10^{-11}$$

А радиус шара был бы равен

$$R=\frac{ r_1 r_2}{ r_2-r_1}=\frac{ 0,01\cdot 0,0105}{ 0,0105-0,01}=0,21$$

Ответ: $C=0,5$ пФ, $R=0,21$ м.

Задача 2.

Найти емкость плоского конденсатора, состоящего из двух круглых пластин диаметром $D = 20$ см, разделенных парафиновой прослойкой толщиной $d = 1$ мм.

Диэлектрическая проницаемость парафина $\varepsilon=2$.

По формуле

$$C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 \pi D^2 }{4d}=\frac{2\cdot8,85 \cdot10^{-12}\cdot3,14 \cdot0,2^2}{4\cdot10^{-3}}=556\cdot10^{-6}$$
Ответ: 556 мкФ

Задача 3.

Площадь каждой пластины плоского конденсатора $S = 520$ см$^2$. На каком расстоянии друг от друга надо расположить в воздухе пластины, чтобы емкость конденсатора была $C = 46$ пФ?

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\varepsilon=1$.

Из формулы

$$C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$$

«вытащим» $d$:

$$d=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{C}=\frac{8,85 \cdot10^{-12} \cdot520 \cdot10^{-4}}{46\cdot 10^{-12}}=0,01$$

Ответ: 1 см

Задача 4.

Расстояние между обкладками плоского конденсатора увеличивают. Как изменится: а) электроемкость конденсатора; б) напряженность электрического поля; в) напряжение? Рассмотреть два случая: 1) конденсатор заряжен и отключен от источника тока; 2) конденсатор подключен к источнику тока.

Здесь необходимо запомнить: если конденсатор заряжен и после этого отключен, то заряд на нем сохраняется. Действительно, куда ему деваться? А если начать что-либо менять, то будут меняться емкость и напряжение.

Если же конденсатор подключен к источнику, то напряжение на нем постоянно, и при любых вмешательствах (раздвинули пластины, вложили диэлектрик) будет меняться емкость и заряд.

Тогда в первом случае (заряд постоянен!): так как $C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$ зависимость емкости от $d$ обратная, то емкость будет падать при увеличении расстояния между пластинами. Напряженность $E=\frac{q}{\varepsilon \varepsilon_0 S }$ - никак не зависит от расстояния между обкладками, она не изменится; напряжение $U=Ed$ - увеличится, оно от величины $d$ зависит прямо.

Во втором случае (напряжение постоянно): напряженность поля уменьшится; емкость уменьшится.

Задача 5.

Плоский конденсатор состоит из двух пластин, площадью $S = 200$ см$^2$ каждая, расположенных на расстоянии $d =2$ мм друг от друга, между которыми находится слой слюды. Какой наибольший заряд можно сообщить конденсатору, если допустимое напряжение $U= 3$ кВ?

Диэлектрическая проницаемость слюды $\varepsilon=6$.

$$q=CU$$

$$q=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U}{d}=\frac{6 \cdot 8,85 \cdot10^{-12} \cdot200 \cdot10^{-4} \cdot 3000}{2\cdot10^{-3}}=1,59\cdot10^{-6}$$

Ответ: 1,59 мкКл

Задача 6.  Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 0,5$ мм, заряжен до напряжения $U = 10$ В и отключен от источника. Каким будет напряжение $U_2$,  если пластины раздвинуть до расстояния $d_2 = 5$ мм?

Если конденсатор заряжен и после этого отключен, то заряд на нем сохраняется. Тогда

$$q=CU=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U_1}{d_1}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U_2}{d_2}$$

$$\frac{U_1}{d_1}=\frac{U_2}{d_2}$$

$$U_2=\frac{ U_1 d_2}{ d_1}=\frac{10\cdot5}{0,5}=100$$

Ответ: $U_2=100$ В

Задача 7.

С какой силой взаимодействуют пластины плоского воздушного конденсатора площадью $S = 0,01$ м$^2$, если напряжение на пластинах $U = 500$ В и расстояние между ними $d = 3\cdot 10^{-3}$ м?

Сила взаимодействия пластин может быть вычислена как произведение заряда пластины на напряженность поля пластины: $F=\frac{qE}{2}$ - делим пополам, потому что напряженность поля одной пластины вдвое меньше напряженности поля конденсатора – там пластин две штуки.
$$E=\frac{U}{d}$$

$$F=\frac{qE}{2}=\frac{CU\cdot U}{2d}=\frac{U^2\varepsilon_0 S }{2d^2}=\frac{500^2\cdot 8,85 \cdot10^{-12} \cdot 0,01 }{2\cdot 9 \cdot10^{-6}}=1229\cdot10^{-6}$$

Ответ: $F=1,229$ мН.