Периодическая подзарядка конденсатора

Задача 1.

В цепи (см. рисунок) состояние ключа К периодически изменяют: замыкают на время $\tau$, затем размыкают на время $2\tau$, снова замыкают на время $\tau$ и размыкают на время $2\tau$ и так далее. Время $\tau$ достаточно мало, так что напряжение на конденсаторе большой емкости $C$ не успевает за это время заметно измениться. После большого количества переключений напряжение на конденсаторе становится практически постоянным, совершая лишь небольшие колебания около своего среднего значения. ЭДС источника $E$ и сопротивление $R$ каждого из резисторов известны. Найдите в установившемся режиме:

- среднее значение напряжения $U$ на конденсаторе;

- среднюю силу тока $I$, текущего через ключ;

- отношение средних тепловых мощностей, выделяющихся на резисторах.

Рисунок к первой задаче

Решение. Если конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U$, то при разомкнутом ключе схема такова:

Ключ разомкнут

Значит, конденсатор подзаряжается, и ток в цепи при этом такой:

$$I_1=\frac{E-U}{2R}$$

Когда ключ открыт, то можно две цепи представить связанными только одним узлом:

Ключ замкнут

В левой ток равен $ I_{levz}=\frac{E}{R}$, в правой $I_2=\frac{U}{R}$. Этим последним током конденсатор разряжается.

Так как заряд на конденсаторе примерно один и тот же (потому что напряжение танцует около одного значения), то заряд, притекший во время процесса зарядки, равен заряду, утекшему во время разрядки. Притекло:

$$q_1=I_1\tau$$

Утекло:

$$q_2=I_2\cdot 2\tau$$

$$q_1=q_2$$

Подставим токи:

$$ I_1\tau= I_2\cdot 2\tau$$

$$\frac{E-U}{2R}\cdot \tau = \frac{U}{R}\cdot 2\tau$$

$$\frac{E-U}{2}=2U$$

$$U=\frac{E}{5}$$

Определим средний ток как сумму зарядов, проходящих через ключ, к полному времени:

$$I_{sr}=\frac{I_{levz}\cdot \tau+I_2\cdot \tau+0\cdot 2\tau}{3\tau}=\frac{\frac{E}{R}+\frac{0,2E}{R}}{3}=0,4\frac{E}{R}$$

Сила тока через левый резистор, когда ключ замкнут, равна
$$I_{levz}=\frac{E}{R}$$
а когда ключ разомкнут
$$I_{levrazom}=\frac{E−U}{2R}=\frac{0,8E}{2R}=0,4\frac{E}{R}$$

Средняя мощность равна отношению тепла, выделившегося за период, к длительности периода:
$$P_1=\frac{\frac{E^2}{R^2}\cdot R \tau+\frac{0,16E^2}{R^2}\cdot R \cdot 2\tau}{3\tau}=\frac{1,32E^2}{3R}=0,44\frac{E^2}{R}$$
Аналогично, средняя мощность, выделяющаяся на правом резистоpe, paвнa
$$P_2=\frac{\frac{(E-U)^2}{4R^2}\cdot R \tau+\frac{U^2}{R^2}\cdot R \cdot 2\tau}{3\tau}=\frac{0,24E^2}{3R}=0,08\frac{E^2}{R}$$
Отношение мощностей
$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{0,44}{0,08}=5,5$$

Ответ: $U=\frac{E}{5}$; $I_{sr}=0,4\frac{E}{R}$, $\frac{P_1}{P_2}=5,5$.

Задача 2.

В схеме, изображённой на рисунке, ключ периодически замыкают и размыкают на равные времена $\tau$, причём $\tau≪RC$. Через достаточно большое время напряжение на конденсаторе становится практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания около своего среднего значения. Найдите это среднее значение, если ЭДС батареи равно $E=60$ В. Ответ выразите в В, округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 2

Решение. Если конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U$, то при разомкнутом ключе схема такова:

Схема при разомкнутом ключе

Значит, конденсатор подзаряжается, и ток в цепи при этом такой:

$$I_1=\frac{E-U}{R}$$

Ключ замкнут

Когда ключ замкнут, то правый резистор и конденсатор включены параллельно, на них обоих напряжение $U$. Ток через резистор $I_R=\frac{U}{R}$, а ток через конденсатор определим через первое правило Кирхгофа:

$$I_1+I_2=I_R$$

$$\frac{E-U}{R}+I_2=\frac{U}{R}$$

Откуда

$$I_2=\frac{2U-E}{R}$$

Так как заряд на конденсаторе примерно один и тот же (потому что напряжение танцует около одного значения), то заряд, притекший во время процесса зарядки, равен заряду, утекшему во время разрядки. Притекло:

$$q_1=I_1\tau$$

Утекло:

$$q_2=I_2\tau$$

$$q_1=q_2$$

Подставим токи:

$$ I_1\tau= I_2\tau$$

$$\frac{E-U}{R}\cdot \tau = \frac{2U-E}{R}\cdot \tau$$

$$E-U=2U-E$$

$$3U=2E$$

$$U=\frac{2}{3}E=40$$

Ответ: 40 В.