Переходные процессы в цепях с конденсатором: задачки Сириуса (для школьников)

Задача 1.

В схеме, показанной на рисунке, в начальный момент времени ключи $K_1$ и $K_2$ разомкнуты, а конденсатор (большой ёмкости) не заряжен. Через некоторое время после замыкания ключа $K_1$ амперметр показывает величину силы тока $I_1=10$ мкА. В этот момент замыкают ключ $K_2$. Какую величину силы тока покажет амперметр сразу после замыкания ключа $K_2$? Внутренним сопротивлением батареи и амперметра пренебрегите. Ответ выразите в мкА, округлите до целого числа.

Рисунок к задаче 1

Решение. После замыкания ключа $K_1$ ничто не мешает току скачком измениться. Ток будет протекать в левом контуре и будет равен

$$I_1=\frac{E}{3R}=10\cdot 10^{-6}$$

Ключ $K_2$ можно замкнуть в любой момент. Ток потечет  в большом контуре, так как незаряженный конденсатор эквивалентен проводу без сопротивления. Но это – только в первый момент. А нас про него и спрашивают! Ток в первый момент после замыкания второго ключа равен

$$I_2=\frac{E}{R}=3I_1=30\cdot 10^{-6}$$

Ответ: 30 мкА.

Задача 2.

В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы можно считать идеальными, ЭДС батареи $E=100$ В, сопротивления резисторов $R_1=r=100$ Ом, $R_2=4r$, $R_3=3r$, $R_4=2r$. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Найдите ток, текущий через конденсатор сразу после замыкания ключа. Ответ выразите в А, округлите до сотых.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть входной ток $12I$. Я выбираю любое удобное целое число, которое делится на 4 (так как $\frac{R_1}{R_3}=\frac{1}{3}$, $1+3=4$) и на три (так как $\frac{R_2}{R_4}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$, $1+2=3$). Так как конденсатор не заряжен, то он эквивалентен просто проводнику.

Тогда распределение токов в схеме таково:

Распределение токов

А значит, через конденсатор течет ток $5I$. Определим его. Сопротивление левой части цепи

$$R_{lev}=\frac{R_1R_3}{ R_1+R_3}=\frac{3r^2}{4r}=0,75r$$

Правой части

$$R_{prav}=\frac{R_2R_4}{ R_2+R_4}=\frac{8r^2}{6r}=\frac{4r}{3}$$

Общее сопротивление цепи

$$ R_{lev}+ R_{prav}=\frac{3}{4}r+\frac{4}{3}r=\frac{25}{12}r$$

Ток в неразветвленной части

$$12I=\frac{E}{ R_{lev}+ R_{prav}}=\frac{100\cdot 12}{25\cdot 100}=0,48$$

$$I=\frac{0,48}{12}=0,04$$

$$5I=0,2$$

Ответ: 0,2 А

Задача 3.

Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС $E=100$ В и внутренним сопротивлением $r=100$ Ом, конденсатора ёмкостью $C=100$ мкФ и резистора сопротивлением $R=4r$. Ключ K на некоторое время замыкают, а затем размыкают. После размыкания ключа в схеме выделилось количество теплоты $Q=80$ мДж. Найдите ток, текущий через источник непосредственно перед размыканием ключа. Ответ выразите в А, округлите до десятых. Найдите также ток, текущий через конденсатор в этот же момент. Ответ выразите в А, округлите до десятых.

Рисунок к задаче 3

Решение. Разберемся с выделенным теплом. Это та энергия, которая накоплена конденсатором (за время, что ключ пребывал в замкнутом состоянии).

$$Q=\frac{CU^2}{2}$$

$$U^2=\frac{2Q}{C}=\frac{160\cdot 10^{-3}}{10^{-4}}=1600$$

Тогда $U=40$ В. Значит, на резисторе $R$ тоже 40 В – ток через него будет равен $I_R=0,1$ А, а на резисторе $r$ падение напряжения 60 В – значит, через него течет ток $I_r=\frac{60}{100}=0,6$ А. Следовательно, ток через конденсатор $0,5$ А.

Ответ: ток через источник 0,6 А, а через конденсатор течет 0,5 А.