Невоздушные конденсаторы

Задачи из разных источников, в основном – учебник Мякишева 10-11, упражнение 4.

Задача 1.

В конденсатор емкостью $С_0$ внесли диэлектрическую пластинку с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 2$. Пластинку расположили так, как указано на рисунке. Определите, во сколько раз изменилась емкость конденсатора при внесении в него пластинки. Площадь пластинки в 2 раза меньше площади  обкладки конденсатора, а ее толщина в 2 раза меньше расстояния между обкладками.

Решение. При внесении пластинки получаем такую схему:

У каждого конденсатора площадь пластин равна $\frac{S}{2}$, а расстояние между ними - $d$. Считаем емкость нижней ветви:
$$C_{34}=\frac{C_3C_4}{ C_3+C_4}=\frac{C_3^2}{2C_3}=\frac{C_3}{2}=\frac{\varepsilon_0S}{2d}$$
Считаем емкость верхней ветви:
$$C_{12}=\frac{C_1C_2}{ C_1+C_2}=\frac{\frac{\varepsilon_0S}{d}\cdot\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d}}{\frac{\varepsilon_0S}{d}+\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d}}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d(\varepsilon+1)}$$
Полная емкость двух параллельных ветвей
$$ C_{12}+ C_{34}=\frac{\varepsilon_0S}{2d}+\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d(\varepsilon+1)}=\frac{C_0}{2}+\frac{\varepsilon C_0}{\varepsilon +1}=\frac{C_0}{2}+\frac{2C_0}{3}=\frac{7}{6}C_0$$

Ответ: $\frac{7}{6}C_0$

Задача 2.

Плоский конденсатор, пространство между пластинами которого заполнено керосином ($\varepsilon = 2$), расположен вертикально, заряжен и отключен от источника напряжения. Напряженность электрического поля при этом в керосине $E = 20$ кВ/см. Из-за дефекта в корпусе конденсатора керосин начинает вытекать, а его место занимает воздух. Предельная напряженность электрического поля в воздухе, при которой наступает электрический пробой (разряд), $E_{pr} = 30$ кВ/см. Какая доля $\delta$ керосина вытечет из конденсатора к моменту пробоя конденсатора?

Решение: Так как конденсатор заряжен и отключен, то заряд сохраняется. Поэтому при манипуляциях с конденсатором (в данном случае – вытекание керосина) емкость меняется, а вместе с ней и напряжение на пластинах.
$$q=CU=C_1U_1$$
$$q=CU=\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d }\cdot U=\frac{\varepsilon \varepsilon_0S}{d }\cdot Ed=\varepsilon \varepsilon_0S E$$
Пусть площадь пластины $S$, а площадь той части пластины, где присутствует еще керосин - $x$.
$$q=C_1U_1=\left(\frac{\varepsilon_0(S-x)}{d }+\frac{\varepsilon \varepsilon_0x}{d }\right) E_{pr} d=\varepsilon_0(S-x) E_{pr}+\varepsilon \varepsilon_0x E_{pr}$$
Тогда по закону сохранения заряда
$$\varepsilon \varepsilon_0S E=\varepsilon_0(S-x) E_{pr}+\varepsilon \varepsilon_0x E_{pr}$$
$$\varepsilon S E=(S-x) E_{pr}+\varepsilon x E_{pr}$$
$$\varepsilon E=(1-\frac{x}{S}) E_{pr}+\varepsilon \frac{x}{S} E_{pr}$$
$$\varepsilon E- E_{pr}=\frac{x}{S}(-E_{pr}+\varepsilon E_{pr})$$
$$\frac{x}{S}=\frac{\varepsilon E- E_{pr}}{\varepsilon E_{pr}-E_{pr}}=\frac{40-30}{30}=\frac{1}{3}$$
Таким образом, керосин заполняет к моменту пробоя $\frac{1}{3}$ конденсатора, а значит, $\delta =\frac{2}{3}$ керосина вытекло.

Ответ: $\delta =\frac{2}{3}$.

Задача 3.

Найдите емкость металлического шара радиусом $r$, окруженного прилегающим концентрическим слоем диэлектрика с внешним радиусом $R$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$.

Решение: Пусть на шаре есть заряд $q$. Тогда диэлектрик поляризуется и на его поверхности наведется заряд $\frac{q}{\varepsilon}$. Тогда потенциал шара (он внутри оболочки, поэтому два слагаемых в потенциале)
$$\varphi_{sh}=\frac{kq}{\varepsilon r} -\frac{kq}{\varepsilon R}$$
Потенциал оболочки
$$\varphi_{obol}=-\frac{kq}{R}$$
Разность потенциалов:
$$\Delta \varphi = \varphi_{sh}-\varphi_{obol}=\frac{kq}{\varepsilon r} -\frac{kq}{\varepsilon R}+\frac{kq}{R}$$
$$\Delta \varphi = \frac{kq}{\varepsilon } \left(\frac{1 }{ r} -\frac{1}{R}+\frac{\varepsilon}{R}\right)= \frac{kq}{\varepsilon }\cdot\frac{R-r+\varepsilon r}{rR}$$
Емкость полученного конденсатора:
$$C=\frac{q}{\Delta \varphi }=\frac{rR\varepsilon}{k(R+(\varepsilon-1)r}$$

Ответ: $C=\frac{rR\varepsilon}{k(R+(\varepsilon-1)r}$.

Задача 4.

К пластинам плоского конденсатора, находящимся на расстоянии $d = 1$ см друг от друга, приложена разность потенциалов $U = 300$ В. В пространство между пластинами помещается плоскопараллельная пластина из стекла толщиной $d_1 = 0,3$ см и плоскопараллельная пластина из парафина толщиной $d_2 = 0,7$ см. Найдите напряжения между поверхностями стеклянной и парафиновой пластин. Диэлектрические проницаемости стекла и парафина соответственно равны $\varepsilon_1 = 6$ и $\varepsilon_2 = 2,6$.

Решение: Так как получаем два соединенных последовательно конденсатора, то заряд на каждом из них будет один и тот же.
$$C_1U_1=C_2U_2$$
Или
$$\frac{U_1}{U_2}=\frac{C_2}{C_1}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_2S}{d_2}\cdot\frac{d_1}{\varepsilon_0\varepsilon_1S }=\frac{2,6\cdot 0,3}{6\cdot 0,7}=0,186$$
Осталось разделить напряжение 300 В в отношении 186:1000.
$$x=\frac{300}{186+1000}=0,253$$
$$U_1=186\cdot 0,253=47$$
$$U_2=1000\cdot 0,253=253$$

Ответ: на стеклянной пластине напряжение 47 В, а на парафиновой – 253 В.