Куб из конденсаторов

Вашему вниманию предлагается задача, в которой необходимо определить эквивалентную емкость куба, в ребра которого включены конденсаторы одинаковой емкости С.

Задача 1.

Определим емкость получившейся батареи конденсаторов, если включить такой куб в цепь в точках $A$ и $C$.

Дано

В дальнейшем я не буду рисовать сами конденсаторы, чтобы не загружать излишне рисунок.

Шаг 1. Сначала пересчитаем звезды из емкостей $BDCE$, $BLCH$ и $EFHC$ в треугольники. Звезды я выделила различными цветами, чтобы их было хорошо видно: красным, зеленым, голубым.

Шаг 1

Результат пересчета звезды  $BDCE$ с геометрических позиций таков:

Шаг 1. Перерасчет звезды в треугольник

Емкости новых ветвей рассчитываются по формулам:

Переход от треугольника емкостей к звезде и обратно

Тогда для нашего случая:

$$C_{BE}=C_{EC}=C_{BC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}$$

Аналогично будут пересчитаны и две другие звезды:

$$C_{BH}=C_{HC}=C_{BC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}$$

$$C_{HE}=C_{EC}=C_{HC}=\frac{C^2}{3C}=\frac{C}{3}$$

Шаг 2. Видим, что между точками $B$ и $C$ включены параллельно две емкости $\frac{C}{3}$ (красное и голубое ребро), аналогично - две такие же емкости включены между точками $E$ и $C$ - красное и зеленое ребра, и между точками $H$ и $C$ - зеленое и голубое ребра. Так как параллельно соединенные емкости складываются, то преобразуем пары этих ребер в единичные, сложив их емкости:

$$C_{BC1}=C_{HC1}=C_{EC1}=\frac{C}{3}+\frac{C}{3}=\frac{2C}{3}$$

Шаг 2.

Образовались рыжие ребра с емкостями по $\frac{2C}{3}$.

Шаг 3. Посмотрим теперь внимательно на схему: видно, что потенциалы точек $B$, $E$, $H$ равны. Таким образом, емкости, оказавшиеся включенными в голубое, красное и зеленое ребра окажутся незаряженными: $q=C(\varphi-\varphi)=0$. Поэтому просто исключим их из схемы, получив при этом очень простую конструкцию:

Шаг 3.

Рассчитаем емкость ребра $ABC$:

$$C_{ABC}=\frac{C_{AB}\cdot C_{BC}}{C_{AB}+C_{BC}}=\frac{C\cdot\frac{C}{3}}{C+\frac{C}{3}}=\frac{2C}{5}$$

Так как ребра $ABC$, $AEC$ и $AHC$ включены параллельно, их емкости можно сложить:

$$C_{ekv}=C_{ABC}+C_{AEC}+C_{AHC}=3\cdotC_{ABC}=\frac{6C}{5}$$

Ответ: $C_{ekv}=\frac{6C}{5}$.

Задача 2.

Определим емкость получившейся батареи конденсаторов, если включить куб в цепь в точках $A$ и $B$.

Задача 2. Дано

Шаги 1-3 абсолютно идентичны, поэтому не повторяюсь. Получаем такую картину:

Задача 2. После шага 3.

Шаг 4. Произведем теперь перерасчет звезды $BCEH$ в треугольник:

Шаг 4.

$$C_{BH}=C_{EH}=C_{BE}=\frac{\left(\frac{2C}{3}\right)^2}{\frac{2C}{3}\cdot3}=\frac{2C}{9}$$

Шаг 5. Теперь точки подключения - $A$ и $B$, следовательно, в этом случае одинаков потенциал точек $E$ и $H$. Поэтому эквивалентная емкость в ветви $EH$ окажется незаряженной, удалим ее:

Шаг 5.

Картина стала совсем простой:

Шаг 6.

Осталось определить емкости в ветвях $AHB$ и $AEB$ и затем сложить:

$$C_{AHB}=\frac{C\cdot\frac{5C}{9}}{C+\frac{5C}{9}}=\frac{5C}{14}$$

$$C_{ekv}=\frac{5C}{14}+\frac{5C}{14}+C=\frac{12C}{7}$$

Ответ: $C_{ekv}=\frac{12C}{7}$