Разделы сайта

Категория:

Емкости ...

Конденсаторы - задачи

29.12.2014 21:00:47 | Автор: Анна

В задачах с присутствием конденсаторов очень часто нужно уметь находить емкость последовательного и параллельного соединения емкостей. С параллельным соединением емкостей все просто: при параллельном соединении емкости складываются. Почему это так? Дело в том, что при параллельном соединении на всех конденсаторах одинаковое напряжение, а их заряды пропорциональны емкостям:

q_1=C_1*U, q_2=C_2*U, q_3=C_3*U и т.д.

Общий заряд на конденсаторах: q=q_1+ q_2+... +q_n=U(C_1+C_2+...+C_n)

Тогда емкость системы конденсаторов: C=q/U=C_1+C_2+...+C_n .

С последовательным соединением все сложнее. Кстати, когда готовила эту статью, наткнулась на такой вот перл, который не могла не процитировать:

емкость

Заряды при последовательном соединении одинаковы на всех конденсаторах:

U_1=q/C_1, U_2=q/C_2, U_3=q/C_3 и т.д.

Тогда напряжение между крайними точками равно:

$U=U_1+ U_2+... +U_n=q(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n})$

Емкость всей системы: $C=q/U=1/(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n})$ , или $1/C=(1/{C_1}+1/{C_2}+...+1/{C_n})$

1. Разность потенциалов между точками А и В U=9 В. Емкость конденсаторов соответственно равна C_1=3 мкФ и C_2=6 мкФ. Определите заряды Q_1 и Q_2 и разности потенциалов U_1 и U_2 на обкладках первого и второго конденсаторов.

Задача 1

Определим общую емкость такого соединения: $1/{C_Sigma}=1/{C_1}+1/{C_2}$ ,

C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2)=3*6/(3+6)=2 мкФ (сразу считаем в микрофарадах, чтобы не расписывать степени десятки)

Тогда заряд равен:

q_Sigma=C_Sigma*U=2*9=18 мкКл.

Заряды при последовательном соединении на всех конденсаторах одинаковые, значит для первого:

q_1=q_Sigma=C_1*U_1 , для второго q_2=q_Sigma=C_2*U_2 .

Напряжения на конденсаторах:

$U_1=q_1/{C_1}=18*10^{-6}/{3*10^{-6}}=6$ В, $U_2=q_2/{C_2}=18*10^{-6}/{6*10^{-6}}=3$ В.

Ответ: 18 мкКл, 6 В, 3 В.

2. Определите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора C=1 мкФ.

Задача 2

Емкости C_3 и C_4 , поскольку они соединены параллельно, необходимо сложить: C_34=C_3+C_4=2 мкФ. Тогда получим последовательное соединение трех одинаковых емкостей и C_34 , емкость которой вдвое больше. При последовательном соединении емкостей их эквивалентная емкость вычисляется по формуле: $1/{C_Sigma}=sum{1}{n}{1/{C_i}}$ . Тогда получим: $1/{C_Sigma}=1/1+1/1+1/2+1/1=3,5$ , ${C_Sigma}=1/{3,5}=0,286$ мкФ.

Ответ: 286 нФ

3. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно включенными конденсаторами, 100 пФ, а заряд 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого из них, если C_1=200 пФ.

Воспользуемся C_Sigma=C_1*C_2/(C_1+C_2) . Тогда 100=200*C_2/(200+C_2) (считаем в пикофарадах)

Отсюда 100(200+C_2)=200*C_2 , 20000=100*C_2 , C_2=200 пФ.

При последовательном соединении заряд на конденсаторах равный: q_1=20, q_2=20 нКл.

Напряжения также получатся одинаковыми:

$U_1=q_1/{C_1}=20*10^{-9}/{200*10^{-12}}=100$ В, U_2=U_1=100 В.

Ответ: U_1=U_2=100 В, q_1= q_2=20 нКл.

4. Наибольшая емкость конденсатора 60 мкФ. Какой заряд он накопит при подключении источника постоянного напряжения 60В?

Так как q=C*U , то $q=60*10^{-6}*60=0,36$ мКл.

Ответ: 0,36 мКл

5. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 100 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?

Рассмотрим сначала конденсатор до введения диэлектрика: q=C_1*U , q_1=400C_1 . Заряд остался тем же при введении диэлектрика, а напряжение изменилось: q_2=q_1=100C_2 .

Тогда 400C_1=100C_2 , или $C_1/{C_2}=1/4$

Емкость конденсатора, как известно, зависит от площади пластин и расстояния между ними, а также от диэлектрика:

$C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d$

В первом случае, без диэлектрика: $C_1={varepsilon_0*S}/d$ , а во втором $C_2={varepsilon*varepsilon_0*S}/d$

Найдем и в этом случае отношение емкостей: $C_1/{C_2}=1/varepsilon$ , или $varepsilon=C_2/{C_1}=4$

Ответ: varepsilon=4 Кл*Кл/Н*м*м

6. Площадь пластин конденсатора равна 520 см кв. На каком расстоянии нужно разместить пластины в воздухе, чтобы емкость конденсатора была равна 50 пФ?

Емкость конденсатора без диэлектрика:

$C={varepsilon_0*S}/d$

Площадь нужно выразить в кв. метрах: $S=520*10^{-4}=0,052$

Электрическая постоянная $varepsilon_0=8,85*10^{-12}$ .

Выразим из первого выражения нужную нам величину: $d={varepsilon_0*S}/C={8,85*10^{-12}*0,052}/{50*10^{-12}}=0,0092$ м, или 9,2 мм.

Ответ: 9,2 мм

7. Конденсатору емкостью 20 мкФ сообщили заряд 5 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?

Энергию электрического поля, накопленную конденсатором, можно вычислить по формуле:

$W=CU^2/2=q^2/{2C}$ - и в этой задаче как раз хорошо будет воспользоваться второй записью.

Тогда: $W=q^2/{2C}=(5*10^{-6})^2/{2*20*10^{-6}}=25/40=0,625*10^{-6}$ мкДж

8. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из бумаги, пропитанной парафином, равно 2 мм, а напряжение 200 В. Найти плотность энергии поля.

Чтобы найти плотность энергии, нужно сначала определить энергию поля, а потом посчитать, в каком объеме она сосредоточена.

W=CU^2/2 , с другой стороны, емкость $C={varepsilon*varepsilon_0*S}/d$ , тогда $W={{varepsilon*varepsilon_0*S}U^2}/{2d}$ . Объем пространства между пластинами конденсатора - это произведение площади пластин на расстояние между ними: V=Sd . Тогда плотность энергии поля равна $W/V={{varepsilon*varepsilon_0}U^2}/{2d^2}$