Конденсаторы: плотность энергии поля

В этой статье представлены задачи на определение энергии конденсатора, плотности энергии поля, а также расчет выделившегося тепла.

Задача 1.

Емкость плоского воздушного конденсатора $C = 900$ пФ, расстояние между пластинами $d= 4\cdot 10^{-2}$ м, напряжение на пластинах $U = 200$ В. Определить: а) напряженность поля между пластинами; б) силу взаимодействия пластин; в) энергию поля конденсатора; г) объемную плотность энергии.

Запишем нужные нам соотношения:

Заряд можем посчитать сразу:

$$q=CU=900\cdot 10^{-12}\cdot200=180\cdot10^{-9}$$

Заряд равен 180 нКл.

Также можно определить энергию конденсатора:

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{900\cdot 10^{-12}\cdot200^2}{2}=18\cdot 10^{-6}$$

Энергия равна 18 мкДж.

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon }$$

$$\sigma=\frac{q}{S}$$

Определим площадь пластин:

$$C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$$

$$S=\frac{Cd}{\varepsilon_0}$$

Тогда напряженность поля равна:

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon }=\frac{q}{\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{\varepsilon_0 q}{Cd\varepsilon_0 \varepsilon }=\frac{q}{Cd}=\frac{180\cdot10^{-9}}{900\cdot 10^{-12}\cdot4\cdot 10^{-2}}=5\cdot10^3$$

Сила взаимодействия пластин:

$$F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{q^2}{2Cd}=\frac{180^2\cdot10^{-18}}{2\cdot900\cdot 10^{-12}\cdot4\cdot 10^{-2}}=45\cdot10^{-5}$$

Таким образом, сила взаимодействия пластин 0,45 мН. Объемная плотность энергии:

$$\omega=\frac{W}{V}=\frac{W}{Sd}=\frac{W\varepsilon_0}{Cd^2}=\frac{18\cdot 10^{-6}\cdot8,85\cdot10^{-12}}{900\cdot 10^{-12}\cdot4^2\cdot 10^{-4}}=1,1\cdot10^{-4}$$

Ответ: напряженность поля $E=5\cdot10^3$ В/м, сила взаимодействия пластин 0,45 мН, энергия поля 18 мкДж, объемная плотность энергии $\omega=1,1\cdot10^{-4}$ Дж/м$^3$.

Задача 2.

Конденсатор, имеющий емкость $C = 200$ мкФ, заряжен до разности потенциалов $U = 100$ В. Какое количество теплоты $Q$ выделится, если конденсатор замкнуть сопротивлением?

Если заряженный конденсатор замкнуть, то вся энергия, запасенная в нем, превратится в тепло на резисторе:

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{200\cdot 10^{-6}\cdot100^2}{2}=1$$

Ответ: энергия, а следовательно, и выделившееся тепло, равна 1 Дж.

Задача 3.

В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора емкостью $C = 800$ мкФ, заряженного до напряжения $U_0 = 300$ В. Найти энергию вспышки, среднюю ее мощность, если продолжительность разрядки $t= 2,4$ мс.

Запасенная энергия $W=\frac{CU^2}{2}$ выделяется в течение времени $t$, следовательно, мощность

$$P=\frac{W}{t}=\frac{CU^2}{2t}=\frac{800\cdot 10^{-6}\cdot300^2}{2\cdot2,4\cdot10^{-3}}=15000$$

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{800\cdot 10^{-6}\cdot300^2}{2}=36$$

Ответ: энергия 36 Дж, мощность 15 кВт.

Задача 4.

Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из парафинированной бумаги $d = 2$ мм, а напряжение между пластинами $U= 200$ В. Найти плотность энергии поля.

$$\omega=\frac{W}{V}=\frac{CU^2}{2Sd}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 U^2 }{2d^2}=\frac{2,2\cdot8,85\cdot10^{-12}\cdot200^2}{2\cdot2^2\cdot10^{-6}}=97,35\cdot10^{-3}$$

Ответ: 97 мДж/м$^3$.

Задача 5.

Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотрите случаи: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику напряжения.

Если конденсатор отключен от питания, то он сохраняет заряд.

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{q^2 }{2C}=\frac{ q^2 d}{2\varepsilon \varepsilon_0 S }$$

Так как диэлектрическая проницаемость масла $\varepsilon=2,2$ и в нашей формуле стоит в знаменателе, то энергия уменьшится в $\varepsilon$ раз, то есть в 2,2 раза.

Если конденсатор подключен к источнику питания, то $U=const$, и

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U^2 }{2d}$$

Видим, что в этом случае, наоборот, энергия увеличится в $\varepsilon$ раз.