Конденсаторы и диоды - подготовка к олимпиадам

Решаем задачи повышенной сложности с конденсаторами и диодами. Готовимся к Всероссу.

Задача 1.

 Исходно на левом конденсаторе напряжение $U_0$, правый конденсатор не заряжен, и оба ключа разомкнуты (см. рис. 12.5). Сначала замыкают ключ 1, затем, дождавшись установления равновесия, замыкают ключ 2. Найдите тепло, выделившееся на каждом из сопротивлений.

К задаче 1

Решение. После замыкания ключа 1 заряженный конденсатор «поделится» своим зарядом с незаряженным. Поэтому энергия каждого конденсатора станет равной

$$E_1=\frac{C}{2}\cdot \left(\frac{U_0}{2}\right)^2=\frac{CU_0^2}{8}$$

А поначалу энергия заряженного конденсатора составляла

$$E_0=\frac{CU_0^2}{2}$$

То есть на двух верхних резисторах потеряно энергии

$$E_0-2E_1=\frac{CU_0^2}{2}-2\cdot \frac{CU_0^2}{8}=\frac{CU_0^2}{4}$$

Это на обоих верхних резисторах. На одном, стало быть, $\frac{CU_0^2}{8}$.

Вся энергия, которая осталась в системе после замыкания ключа 1, а это $\frac{CU_0^2}{4}$, рассеется на всех трех резисторах после замыкания второго ключа. Причем схема симметрична, поэтому, если через правую ветвь течет ток $I$, то и через левую ток будет таким же. А вот через центральный резистор потечет суммарный ток $2I$, и значит, потери на нем будут вчетверо большими, чем на двух верхних резисторах, так как тепловые потери пропорциональны квадрату тока. То есть оставшуюся энергию разделим на 6 частей: 4 будут рассеяны центральным резистором, и по одной части – каждым из двух верхних. Таким образом, на центральном будет рассеяно тепла:

$$Q_{zentr}=\frac{4}{6}\cdot\frac{CU_0^2}{4}=\frac{CU_0^2}{6}$$

На обоих верхних:

$$Q_{verh}=\frac{CU_0^2}{8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{CU_0^2}{4}=\frac{CU_0^2}{8}+\frac{CU_0^2}{24}=\frac{CU_0^2}{6}$$

Выходит, на всех резисторах рассеяно одинаковое количество теплоты – по $\frac{CU_0^2}{6}$.

Ответ: на всех одинаковое количество теплоты, $Q=\frac{CU_0^2}{6}$.

Задача 2.

Два одинаковых неидеальных диода с вольтамперной характеристикой, приведённой на графике, включены вместе с конденсатором, двумя резисторами, идеальной батарейкой и ключом в электрическую цепь, изображённую на рисунке. Сопротивления резисторов $R = 16$ Ом, $r=4$ Ом, ЭДС батарейки $E=4$ В, электрическая ёмкость конденсатора $C = 100$ мкФ, параметры вольтамперной характеристики диода $U_0 =1$ В, $I_0 = 50$ мА. а) Ключ в цепи замкнули. До какого напряжения зарядится конденсатор? б) После зарядки конденсатора ключ разомкнули. Какое количество теплоты выделится при разрядке конденсатора на резисторе $R$? А на каждом из диодов?

К задаче 2

Решение. Пусть на диодах напряжение по  $U_0$ на каждом. Тогда

$$E=2U_0+I(R+r)$$

$$I=\frac{E-2U_0}{R+r}=\frac{4-2\cdot 1}{20}=0,1$$

Этот ток равен 100 мА, значит, предположив, что ток замыкается в контуре по часовой стрелке, мы угадали – величина его больше 50 мА!

$$U_C=U_0+IR=1+0,1\cdot 16=2,6$$

Напряжение на конденсаторе 2,6 В.

Энергию найдем с помощью закона сохранения энергии.

Сначала в конденсаторе была запасена энергия

$$W_1=\frac {CU_C^2}{2}$$

Посмотрим, какое напряжение на конденсаторе при критическом токе и разомкнутом ключе

$$U_C’=U_0+I_0 R=1+0,05\cdot 16=1,8$$

Пока конденсатор разряжается от 2,6 В до 1,8 В на диоде постоянное напряжение $U_0$.

$$Q=UI\Delta t=U_D\Delta q$$

$$\Delta q=C(U_C-U_C’)=10^{-4}\cdot 0,8=8\cdot 10^{-5}$$

$Q=8\cdot 10^{-5}$ Дж. Теперь на конденсаторе энергия $W’=\frac{CU_C’^2}{2}=16,2\cdot 10^{-5}$ Дж. Эта энергия выделится на диоде и резисторе пропорционально их сопротивлениям. Сопротивление диода определяем по графику:

$$r_D=\frac{U_0}{I_0}=\frac{1}{0,05}=20$$

Таким образом, 20 частей энергии выделится на диоде, а 16 – на резисторе.

$$W_D=\frac{20}{36}\cdot 16,2\cdot 10^{-5}=9\cdot 10^{-5}$$

$$W_R=\frac{16}{36}\cdot 16,2\cdot 10^{-5}=7,2\cdot 10^{-5}$$

Ответ: $U_C=2,6$ В, $W_D=9\cdot 10^{-5}$ Дж, $W_R=7,2\cdot 10^{-5}$ Дж.