Конденсаторы и диоды 3 – подготовка к олимпиадам

Здесь собраны задачи с конденсаторами и ключами.

Задача 1.

В схеме, показанной на рисунке, при замкнутом ключе обе лампы светились, потребляя одинаковую мощность. После размыкания ключа лампа Л1 вспыхнула и перегорела, причем заряд конденсатора успел вырасти ровно в два раза по сравнению с его величиной при замкнутом ключе. Найдите заряд конденсатора, накопленный до размыкания ключа. Какая энергия выделилась в Л1 после размыкания ключа? Величину сопротивления ламп можно считать примерно постоянной. Сопротивление Л1 равно внутреннему сопротивлению источника, ЭДС батареи равна $E = 36$ В, емкость конденсатора $C = 400$ мкФ.

Решение. Так как обе лампы светились одинаково, при условии протекания через них одного и того же тока, то можно сделать вывод, что их сопротивления равны.

$$I=\frac{E}{3r}$$

Тогда напряжение на источнике равно

$$U_0=E-2Ir=E-\frac{2E}{3}=\frac{E}{3}$$

И, так как конденсатор подключен параллельно, то на нем такое же напряжение. А, значит, заряд на нем равен

$$q_0=CU_0=\frac{CE}{3}$$

Так как заряд конденсатора вырос вдвое, то для нового состояния

$$q=2q_0=\frac{2CE}{3}$$

Откуда понятно, что напряжение на конденсаторе выросло вдвое и равно

$$U_1=\frac{2E}{3}$$

Заряд изменился на $\Delta q=\frac{CE}{3}$, энергия изменилась на

$$\Delta W=\frac{q^2}{2C} - \frac{q_0^2}{2C}=\frac{4CE^2}{2\cdot 9}-\frac{CE^2}{9\cdot 2}=\frac{CE^2}{6}$$

Работа источника

$$A=E\Delta q=\frac{CE^2}{3}$$

Закон сохранения энергии

$$W_1+A_{ist}=W_2+Q$$

$$Q= A_{ist}-\Delta W=\frac{CE^2}{3}-\frac{CE^2}{6}=\frac{CE^2}{6}$$

Лампы одинаковы, соединены последовательно, следовательно, на них выделяется одинаковое количество тепла – по $Q_1=\frac{Q}{2}=\frac{CE^2}{12}$.

Ответ: $q_0= \frac{CE}{3}$, $Q_1=\frac{CE^2}{12}$.

Задача 2.

В схеме, изображенной на рисунке, ключ долгое время находился в положении 1. Какое количество теплоты выделится в резисторе после перевода его в положение 2? $E = 12$ В, $C = 10$ мкФ, внутренние сопротивления аккумуляторов одинаковы и в $n = 3$ раза меньше сопротивления резистора. Сопротивление проводов, а также индуктивность контура с конденсаторами пренебрежимо малы.

Решение. За то время, что ключ находился в положении 1, левый конденсатор зарядился до напряжения $2E$, а правый до напряжения $E$. После переброса ключа во второе положение произойдет перезаряд конденсаторов.  Напряжение на них одинаковое – они соединены параллельно – и емкости одинаковые, значит, и заряд один и тот же:

$$U_1=U_2$$

$$\frac{q_1}{C}=\frac{q_2}{C}$$

$$q_1=q_2$$

$$q_1+q_2=2CE+CE=3CE,$$

то есть

$$q_1=q_2=1,5CE$$

Но конденсаторы подключены к источнику $E$, значит, после наступления установившегося режима на них будет напряжение $E$, и заряд $CE$ на каждом. Следовательно, общий заряд уменьшится на $\Delta q=-0,5CE-0,5CE=-CE$. Это тот заряд, который протечет через источник, значит, работа источника равна $A_{ist}=-CE^2$.

Закон сохранения энергии:

$$W_1+A_{ist}=W_2+Q$$

$$W_1=\frac{C(1,5E)^2}{2}\cdot 2=\frac{9}{4}CE^2$$

$$W_2=\frac{CE^2}{2}\cdot 2=CE^2$$

$$Q= W_1+A_{ist}-W_2=\frac{9}{4}CE^2-CE^2- CE^2=\frac{1}{4}CE^2$$

В цепь последовательно включены $R=3r$ и $r$ - внутреннее сопротивление источника. Так как через них течет один и тот же ток, то тепло, выделяемое на каждом, пропорционально его сопротивлению. То есть три части тепла выделится на $R$, а одна – на $r$. Одна часть – это $\frac{1}{16}CE^2$, три части - $\frac{3}{16}CE^2$.

$$Q_R=\frac{3}{16}CE^2=\frac{3}{16}\cdot 10^{-5}\cdot 144=27\cdot 10^{-5}$$

Ответ: 2,7 мкДж

Задача 3.

В цепи, схема которой изображена на рисунке, в начальный момент времени конденсатор ёмкостью $3C= 300$ мкФ заряжен до напряжения $U_0 = 12$ В, конденсаторы ёмкостью $C$ и $2C$ не заряжены. Переключатель П в среднем положении. Переключатель П сначала перекидывают в положение 1 на короткое время (много меньшее $RC$), а затем в положение 2 на гораздо большее время. Определите заряды конденсаторов после многократного повторения этих двух операций. Найдите приближённо, какое количество теплоты выделяется в каждом из резисторов.

Решение. Когда ключ в положении 1, то конденсатор $3C$ немного заряда передает среднему конденсатору, а затем ключ переводят в положение 2 и тогда средний, будучи подключен параллельно с правым, передает ему большую часть своего заряда. Напряжение одинаково, поэтому

$$U_1=U_2=U_3$$

$$\frac{q_1}{3C}=\frac{q_2}{C}=\frac{q_3}{2C}$$

$$q_1=3q_2$$

$$q_3=2q_2$$

$$3CU_0=q_2+3q_2+2q_2=6q_2$$

$$q_2=\frac{1}{2}CU_0$$

$$q_1=\frac{3}{2}CU_0$$

$$q_3=CU_0$$

Закон сохранения энергии:

$$W_1+A_{ist}=W_2+Q$$

$$ A_{ist}=0$$

$$W_1=\frac{3CU_0^2}{2}$$

$$W_2=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{4\cdot 3C}\cdot CU_0^2+\frac{1}{4}CU_0^2+\frac{CU_0^2}{2}\right)=\frac{3}{4}CU_0^2$$

$$Q=W_1-W_2=\frac{3CU_0^2}{2}-\frac{3}{4}CU_0^2=\frac{3}{4}CU_0^2$$

Теперь разберемся, что будет при многократных переключениях. Пусть при каждом из них перетекает заряд $\Delta q<<q$. Возьмем состояние системы, когда на левом конденсаторе заряд $q_0-q$, а на центральном и правом -  $\frac{q}{3}$ и $\frac{2q}{3}$ соответственно. Тогда можно записать:

$$W_1’=\frac{(q_0-q)^2}{6C}+\frac{q^2}{18C}$$

Первое слагаемое – энергия левого конденсатора, а второе – центрального.

После перетекания $\Delta q$:

$$W_2’=\frac{(q_0-q-\Delta q)^2}{6C}+\frac{(\frac{q}{3}+\Delta q)^2}{2C}=\frac{(q_0-q-\Delta q)^2}{6C}+\frac{(q+3\Delta q)^2}{18C}$$

Разность этих энергий равна:

$$Q_1= W_1’- W_2’=\frac{(q_0-q-q_0+q+\Delta q)(q_0-q+q_0-q-\Delta q)}{6C}+\frac{(q-q-3\Delta q)(q+q+3\Delta q)}{18C}$$

$$=\frac{\Delta q(2q_0-2q-\Delta q)}{6C}+\frac{-3\Delta q(2q+3\Delta q)}{18C}$$

Пренебрегая малым $\Delta q^2$, имеем:

$$ W_1’- W_2’=\frac{\Delta q(2q_0-2q)}{6C}-\frac{2q\Delta q}{6C}$$

Суммируем и получим выделившееся на первом резисторе:

$$\sum Q_1=\sum \frac{q_0\Delta q}{3C}-\sum\frac{2q \Delta q}{3C}=\frac{q_0}{3C}\sum \Delta q-\frac{2}{3C}\sum q\Delta q$$

$$\sum Q_1=\frac{q_0}{3C}\left(\frac{3}{2}CU_0-3CU_0\right) -\frac{2}{3C}\left(\frac{\left(\frac{3}{2}CU_0\right)^2-\left(3CU_0^2\right)}{2}\right)$$

$$Q_1=U_0\cdot\left(-\frac{3}{2}CU_0\right)+ \frac{2}{3C}\cdot\frac{9\cdot\frac{3}{4}CU_0^2}{2}=\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{2}\right)CU_0^2=\frac{3}{4}CU_0^2$$

На втором резисторе выделилось:

$$Q_2=Q-Q_1<<Q_1$$

Ответ: $ Q_1=\frac{3}{4}CU_0^2$, $Q_2<<Q_1$.