Конденсаторы и диоды 2 - подготовка к олимпиадам

Снова решаем задачи со схемами, в которых диоды и конденсаторы соседствуют.

Задача 1.

Школьники Вова и Дима собрали электрическую цепь, состоящую из самодельной батареи с ЭДС $E$, резистора сопротивлением $R = 20$ кОм, конденсатора ёмкостью $C$ и двухпозиционного ключа К (см. схему на рисунке). Затем они в момент времени $t = 0$ включили секундомер, замкнули ключ в положение 1 и спустя некоторое время переключили ключ в положение 2. Получившаяся у Вовы и Димы зависимость напряжения ( на конденсаторе от времени показана на рисунке 2. Проанализировав этот график, они смогли определить, чему равны ёмкость конденсатора $C$, ЭДС $E$ и внутреннее сопротивление $r$ аккумуляторной батареи. Найдите эти значения.

Решение.

После длительного времени, когда замкнут ключ в положение 1, конденсатор зарядится до напряжения $E$ и ток прекратится. Таким образом, сразу можно установить значение ЭДС – именно к 27 В стремится график напряжения.

Когда ключ находится в положении 2, конденсатор разряжается через резистор, пока вся энергия не превратится в тепло. При этом напряжение на конденсаторе убывает по экспоненте. У экспоненты есть свойство: если провести к ней касательную, то от точки касания до пересечения касательной установившегося значения проходит ровно время $\tau$ - постоянная времени цепи. Для резистивно-емкостной цепи это время рассчитывается как

$$\tau = RC$$

Это общий случай. Составим систему уравнений для обоих положений ключа (то есть для обеих экспонент). Проведем к ним касательные.

В первом случае (положение ключа 1) в схеме два сопротивления - $r$ и $R$. Касательная отсекла $\tau=1,5$ с:

$$(r+R)C=1,5$$

Во втором случае в схеме только одно сопротивление - $R$, установившееся значение напряжения – ноль, касательная отсекла время 1 с:

$$RC=1$$

Получили систему уравнений. Если разделить первое на второе, то получим

$$\frac{r+R}{R}=1,5$$

$$\frac{r}{R}+1=1,5$$

$$\frac{r}{R}=0,5$$

Получили $r=10$ кОм. Теперь посчитаем $C$:

$$RC=1$$

$$C=\frac{1}{R}=\frac{1}{20000}=50\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $C=50$ мкФ, $r=10$ кОм.

Задача 2.

В электрической цепи на рисунке все элементы можно считать идеальными. Конденсатор ёмкостью $C$ не заряжен. ЭДС батареи задана. Ключ К замыкают, а затем размыкают в тот момент, когда скорость изменения энергии, запасённой в конденсаторе, составляет 75% от максимальной. Найдите количество теплоты, выделившееся в цепи при замкнутом ключе.

Решение. Энергию конденсатора запишем как

$$W=\frac{q^2}{2C}$$

Скорость изменения энергии можно выяснить, найдя производную по времени:

$$\omega=\frac{dW}{dt}=\frac{1}{2C}\cdot \frac{dq^2}{dt}=\frac{1}{C}\cdot q \dot{q}$$

$$\omega=\frac{q\dot{q}}{C}=\frac{qI_C}{C}=U_CI_C=\frac{E-U_C}{R}U_C$$

Как видно, полученная зависимость – парабола ветвями вниз. Можно легко определить, где находится вершина:

$$-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{E}{R}}{-\frac{2}{R}}=\frac{E}{2}$$

Тогда (подставляем полученное значение)

$$\omega_{max}=\frac{E}{2R}\cdot\frac{E}{2}=\frac{E^2}{4R}$$

Мы нашли точку, где скорость изменения энергии максимальна, и значение этой максимальной скорости. А нам нужно значение, равное $\frac{3}{4}$ максимальной скорости. Решим такое уравнение:

$$\frac{E-U_C}{R}U_C=\frac{3}{4}\cdot \frac{E^2}{4R}$$

$$(E-U_C)U_C=\frac{3}{16}\cdot E^2$$

$$U_C^2-EU_C+\frac{3}{16}\cdot E^2=0$$

$$D=E^2-\frac{3}{4}\cdot E^2=\frac{1}{4}\cdot E^2$$

$$U_C=\frac{E\pm \frac{E}{2}}{2}=\frac{E}{2}\pm\frac{E}{4}$$

Имеем:

$$U_{C1}=0,25E$$

$$U_{C2}=0,75E$$

Теперь можно найти выделившееся количество теплоты. Закон сохранения энергии:

$$W_1+A_{ist}=W_2+Q$$

Так как конденсатор не заряжен вначале, то $W_1=0$.

$$Q= A_{ist}-W_2=EC\Delta U-\frac{CU^2}{2}$$

При $U_{C1}=0,25E$ получим:

$$ Q= EC\cdot 0,25E-\frac{CE^2}{32}=\frac{7}{32}CE^2$$

При $U_{C2}=0,75E$ получим:

$$ Q= EC\cdot 0,75E-\frac{9CE^2}{32}=\frac{15}{32}CE^2$$

Ответ: выделившееся количество теплоты либо $\frac{7}{32}CE^2$, либо $\frac{15}{32}CE^2$.

Задача 3.

В схеме, показанной на рисунке, оба источника одинаковы. Диод существенно отличается от идеального: его вольт-амперная характеристика (связь протекающего тока с напряжением) в открытом состоянии описывается выражением $I(U)=I_0\cdot\left( \frac{U}{E}\right)^2$, где $I_0$ — ток короткого замыкания каждого из источников, а $E$ — величина ЭДС. Пока ключ К разомкнут, конденсатор заряжен до заряда $q_1$. Какой заряд будет на конденсаторе в установившемся режиме после замыкания ключа?

Решение. В схемах с диодами часто применяют следующий прием: предполагают, открыт диод или закрыт, просчитывают схему и убеждаются в том, что предположение верно. Или не верно – тогда снова просчитывают схему.

Предположим, что диод открыт и ветвь с ним представляет собой перемычку, по которой замкнется ток. Этот ток будет равен

$$I_0=\frac{E}{r}$$

Откуда

$$r=\frac{E}{I_0}$$

В некоторый момент ток в цепи равен $I$, с одной стороны, это

$$I=\frac{E-U}{r}$$

$U$ - напряжение на конденсаторе, с другой стороны,

$$I=I_0\frac{U^2}{E^2}$$

То есть

$$\frac{E-U}{r}=I_0\frac{U^2}{E^2}$$

Подставим $r$:

$$\frac{E-U}{E}I_0=I_0\frac{U^2}{E^2}$$

$$E-U = \frac{U^2}{E}$$

$$E^2-UE-U^2=0$$

$$D=E^2+4E^2=5E^2$$

$$U=\frac{E\pm E\sqrt{5}}{-2}=\frac{E}{2}(-1\pm \sqrt{5})$$

Один из корней отрицателен, что свидетельствует о закрытом диоде, поэтому берем положительный корень: $U=\frac{E}{2}(\sqrt{5}-1)$.

$$q_1=CU=\frac{CE}{2}(\sqrt{5}-1)$$

Откуда можно определить емкость:

$$C=\frac{2q_1}{E(\sqrt{5}-1)}$$

При замыкании ключа появится второй источник, точно такой же, как первый. По методу наложения токов делаем вывод, что ток станет вдвое большим:

$$I_2=2\frac{E-U_1}{r}=\frac{2E-E(\sqrt{5}-1)}{r}=\frac{ E (3-\sqrt{5})}{r}$$

Предположим, диод открыт. Тогда

$$2\frac{E-U_1}{r}=I_0\frac{U_1^2}{E^2}$$

$$2\frac{E-U_1}{E}I_0=I_0\frac{U_1^2}{E^2}$$

$$2(E-U_1)=\frac{U_1^2}{E}$$

$$2E^2-2U_1E-U_1^2=0$$

$$U_1^2+2EU_1-2E^2=0$$

$$D=4E^2+8E^2=12E^2$$

$$U_1=\frac{-2E\pm2E\sqrt{3}}{2}=E(-1\pm \sqrt{3})$$

Отрицательный корень не подойдет, так как мы предположили, что диод открыт.

$$U_1= E(\sqrt{3}-1)$$

И определяем заряд на конденсаторе:

$$Q=CU_1=\frac{2q_1}{E(\sqrt{5}-1)}\cdot E(\sqrt{3}-1)=\frac{2q_1(\sqrt{3}-1)}{ (\sqrt{5}-1)}$$

Ответ: $Q=\frac{2q_1(\sqrt{3}-1)}{ (\sqrt{5}-1)}$.