И снова емкости - 3

Снова решаем задачи на конденсаторы. На этот раз – из параграфа 35 сборника Никуловой и Москалева. Хорошие задачи, рекомендую сборник.

Задача 10.

Три плоских конденсатора $C_1=C_0$, $C_2=2C_0$ и $C_3=3C_0$, каждый из которых первоначально был заряжен от батареи с $E=22$ В, и резистор с сопротивлением $R$ включены в схему:

К задаче 10

Какая разность потенциалов установится на конденсаторе $C_3$ после замыкания ключа К?

Решение. Обозначим первоначальные заряды конденсаторов $q_1$, $q_2$ и $q_3$. Они соответственно равны

$$q_1=C_0 E$$

$$q_2=2C_0 E$$

$$q_3=3C_0 E$$

Заряды, установившиеся после того, как мы замкнем ключ и после того, как перераспределение зарядов окончено, обозначим как $Q_1$, $Q_2$ и $Q_3$.

Заметим, что конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены плюсовыми обкладками. Поэтому заряд, «сидевший» на этих обкладках до замыкания ключа и после него, один и тот же. Ему некуда деваться, поскольку эта система пластин изолирована. То есть можно записать:

$$q_1+q_2=Q_1+Q_2$$

Аналогично, после замыкания ключа соединенными оказываются отрицательно заряженные пластины конденсаторов $C_1$ и $C_3$. Поэтому «сидящий» на них заряд тоже сохраняется. Запишем:

$$ q_1+q_3=Q_1+Q_3$$

После замыкания ключа в равновесном режиме ток не течет, значит, на конденсаторах $C_2-C_3$ и $C_1$ одно и то же напряжение:

$$U_1=U_2+U_3$$

Перепишем это:

$$\frac{Q_1}{C}=\frac{Q_2}{2C}+\frac{Q_3}{3C}$$

Или

$$ Q_1=\frac{Q_2}{2}+\frac{Q_3}{3}$$

$$3Q_2+2Q_3=6Q_1$$

Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ q_1+q_2=Q_1+Q_2}\\{ q_1+q_3=Q_1+Q_3}\\{ 3Q_2+2Q_3=6Q_1}\end{matrix}$$

$$3(q_1+q_2-Q_1)+2(q_1+q_3-Q_1)=6Q_1$$

$$11Q_1=5q_1+3q_2+2q_3=5C_0 E+3\cdot 2C_0 E+2\cdot 3C_0 E$$

$$11Q_1=17C_0E$$

$$Q_1=\frac{17C_0E}{11}=34C_0$$

$$U_1=34$$

Теперь найдем остальные заряды и напряжения:

$$Q_2= q_1+q_2-Q_1=3C_0E-34C_0=66C_0-34C_0=32C_0$$

$$U_2=\frac{Q_2}{2C_0}=16$$

$$Q_3= q_1+q_3-Q_1=4C_0E-34C_0=88C_0-34C_0=54C_0$$

$$U_3=\frac{Q_3}{3C_0}=18$$

Ответ: 18 В.