Энергия поля конденсатора

При решении задач, связанных с определением энергии поля, важно помнить, что при отключении конденсатора от источника питания он сохраняет заряд, а если конденсатор остается подключенным к источнику, то напряжение будет постоянно.

Задача 1. Расстояние между пластинами плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменятся: заряд на пластинах, напряжение между пластинами, напряженность поля между пластинами и энергия конденсатора. Рассмотреть два случая: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения.

а) Если конденсатор отключен от питания, то он сохраняет заряд. Следовательно, в этом случае заряд не изменится. Емкость же вырастет вдвое, так как

$$C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$$

Энергия

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{q^2 }{2C}$$

уменьшится вдвое (ведь емкость выросла).

Напряженность поля зависит только от заряда и поэтому тоже не изменится.

б) Если конденсатор подключен к источнику питания, то $U=const$, и

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U^2 }{2d}$$

- энергия увеличится вдвое. Так как емкость выросла вдвое, следовательно, вдвое вырос и заряд конденсатора. А это значит, что и напряженность поля также вдвое увеличится.

Задача 2.

Заряженный конденсатор подключили параллельно к такому же, незаряженному. Во сколько раз изменилась энергия поля первого конденсатора?

При параллельном подключении заряд поделится между двумя конденсаторами поровну. Поэтому, так как

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{q^2 }{2C}$$

То энергия изменится в 4 раза:

$$W=\frac{q_n^2 }{2C}=\frac{q^2}{8C}$$

Задача 3.

Плотность энергии заряженного конденсатора $\omega = 300$ Дж/м$^3$. С какой силой взаимодействуют обкладки конденсатора, если их площадь $S = 10^{-2}$ м$^2$?

Сила взаимодействия пластин:

$$F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon S}=\frac{C^2 U^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon S }=\frac{Cd}{\varepsilon_0 \varepsilon }\cdot \frac{CU^2}{2dS}=S\cdot \frac{CU^2}{2V}=S\omega=10^{-2}\cdot300=3$$

Ответ: 3 Дж

Задача 4.

Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным: объем диэлектрика $V = 10^{-3}$ м$^3$, относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon= 5$, напряженность поля в диэлектрике $E = 10^6$ В/м.

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{CE^2 d^2}{2}=\frac{E^2 d^2}{2}\cdot\frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}=\frac{E^2\varepsilon_0 \varepsilon V}{2}=\frac{10^{12}\cdot8,85\cdot10^{-12} \cdot 5\cdot10^{-3}}{2}=22,125\cdot10^{-3}$$

Ответ: $W=22,1$ мДж.

Задача 5.

Определить энергию, перешедшую в тепло при соединении конденсаторов одноименно заряженными обкладками. Емкость первого конденсатора $C_1 = 2$ мкФ, второго $C_2 = 0,5$ мкФ. Напряжение на первом конденсаторе до соединения $U_1 = 100$ В, а на втором - $U_2 = 50$ В.

Энергия первого конденсатора:

$$W_1=\frac{C_1U_1^2}{2}$$

Второго:

$$W_2=\frac{C_2U_2^2}{2}$$

А после соединения заряд перераспределится и поэтому энергия системы будет равна

$$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{q^2}{2C}$$

Где $C=C_1+C_2$. Заряд первого конденсатора

$$q_1=C_1U_1$$

Заряд второго

$$q_2=C_2U_2$$

Заряд обоих конденсаторов

$$q_1+q_2= C_1U_1+ C_2U_2$$

Тогда энергия системы равна

$$W=\frac{q^2}{2C}=\frac{ (C_1U_1+ C_2U_2)^2}{2(C_1+C_2)}$$

Таким образом, выделившееся тепло равно

$$ W_1+ W_2-W=\frac{C_1U_1^2}{2}+\frac{C_2U_2^2}{2}-\frac{ (C_1U_1+ C_2U_2)^2}{2(C_1+C_2)}=\frac{(C_1+C_2)( C_1U_1^2+ C_2U_2^2)-(C_1^2U_1^2+C_2^2U_2^2+2C_1C_2U_1U_2)}{2(C_1+C_2)}=$$

$$=\frac{C_1C_2U_1^2+C_1C_2U_2^2-2C_1C_2U_1U_2}{2(C_1+C_2)}=\frac{C_1C_2(U_1^2-2U_1U_2+U_2^2)}{2(C_1+C_2)}=\frac{C_1C_2(U_1-U_2)^2}{2(C_1+C_2)}= \frac{2\cdot10^{-6}\cdot0,5 \cdot10^{-6}(100-50)^2}{2\cdot2,5\cdot10^{-6}}=5\cdot10^{-4}$$

Ответ: 0,5 мДж