Энергия конденсатора - 1

Задача 1.

В цепи, показанной на рисунке, определите энергию конденсатора. Параметры элементов указаны на рисунке.

Рисунок к задаче и параметры элементов

Решение: преобразуем схему, заменив источники на эквивалентный. Ток в цепи

$$I=\frac{3\varepsilon-\varepsilon}{3R+3r+3r}=\frac{2\varepsilon}{3(R+2r)}$$

$$U_R=IR=\frac{2\varepsilon R}{3(R+2r)}$$

$$U_r=I\cdot 3r=\frac{2\varepsilon\cdot 3r}{3(R+2r)}=\frac{2\varepsilon r}{R+2r}$$

Для записи закона Кирхгофа обозначим напряжения

По второму закону Кирхгофа

$$U_R+U_r+U_C=-\varepsilon$$

$$ U_C=-\varepsilon- U_R-U_r$$

$$ U_C=-\varepsilon-\frac{2\varepsilon R}{3(R+2r)}- \frac{2\varepsilon r}{R+2r}$$

$$ U_C=-\frac{\varepsilon(5R+12r)}{3(R+2r)}$$

$$W_C=\frac{CU_C^2}{2}=\frac{C\varepsilon^2}{18}\cdot \left(\frac{5R+12r}{R+2r}\right)^2$$

Ответ: $W_C=\frac{C\varepsilon^2}{18}\cdot \left(\frac{5R+12r}{R+2r}\right)^2$

Задача 2.

Два конденсатора емкостями $C=1$ мкФ и $C_x$ соединены последовательно и подключены к источнику с напряжением $U=20$ В. При каком значении емкости $C_x$ в этом конденсаторе будет накоплена наибольшая энергия? Определить значение этой энергии.

Решение. При последовательном соединении заряды на конденсаторах одинаковые. Поэтому

$$q_C=q_{C_x}$$

$$U_1 C=U_2C_x$$

А напряжения на конденсаторах таковы, что

$$U_1+U_2=U$$

Тогда

$$U_1 C=(U-U_1)C_x$$

$$U_1 C+U_1C_x=UC_x$$

$$U_1=\frac{UC_x}{C+C_x}$$

Так как

$$U_2=\frac{U_1C}{C_x}$$

То

$$U_2=\frac{UC}{C+C_x}$$

Теперь можем определять энергию конденсатора:

$$W_x=\frac{C_x U_2^2}{2}=\frac{C_x}{2}\cdot \left(\frac{UC}{C+C_x}\right)^2$$

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

$$dW_x=\frac{U^2C^2\cdot 2(C+C_x)-C_xU^2C^2\cdot 4(C+C_x)}{4(C+C_x)^2}=0$$

$$ U^2C^2\cdot 2(C+C_x)=C_xU^2C^2\cdot 4(C+C_x)$$

$$ C+C_x=2C_x$$

$$C_x=C$$

Тогда при таком значении неизвестной емкости энергия конденсатора

$$W_{max}=\frac{C}{2}\cdot\left(\frac{UC}{2C}\right)^2=\frac{CU^2}{8}=\frac{10^{-6}\cdot 400}{8}=50\cdot 10^{-6}$$

Ответ: максимальной энергия будет при $C_x=C=1$ мкФ, $W_{max}=50$ мкДж.

Задача 3.

Два конденсатора, емкостью $C=2$ мкФ каждый, и один конденсатор емкостью $C_x$ подключены к батарее $\varepsilon=20$ В, как это показано на рисунке. При каком значении емкости $C_x$ в этом конденсаторе будет накоплена наибольшая энергия? Найти эту энергию.

Рисунок к задаче 2

Решение. При последовательном соединении заряды на конденсаторах одинаковые. Поэтому

$$q_C=q_{С+C_x}$$

$$U_1 C=U_x(С+C_x)$$

А напряжения на конденсаторах таковы, что

$$U_1+U_x=\varepsilon$$

Тогда

$$ C(\varepsilon-U_x)=(C+C_x) U_x $$

$$ C\varepsilon=(2C+C_x) U_x $$

$$U_x=\frac{ C\varepsilon }{2C+C_x }$$

Теперь можем определять энергию конденсатора:

$$W_x=\frac{C_x U_x^2}{2}=\frac{C_x}{2}\cdot \left(\frac{\varepsilon C}{2C+C_x}\right)^2$$

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

$$dW_x=\frac{\varepsilon^2C^2\cdot 2(2C+C_x)-C_x\varepsilon^2C^2\cdot 4(2C+C_x)}{4(2C+C_x)^2}=0$$

$$\varepsilon^2C^2\cdot 2(2C+C_x)=C_x\varepsilon^2C^2\cdot 4(2C+C_x)$$

$$2C+C_x=2C_x$$

$$C_x=2C$$

Тогда, при таком значении неизвестной емкости, энергия конденсатора

$$W_{max}=\frac{2C}{2}\cdot\left(\frac{\varepsilon C}{4C}\right)^2=\frac{C\varepsilon^2}{16}=\frac{2\cdot 10^{-6}\cdot 400}{16}=5\cdot 10^{-5}$$

Ответ: максимальной энергия будет при $C_x=2C=4$ мкФ, $W_{max}=50$ мкДж.