Энергия конденсатора

Задачи из учебника Мякишева 10-11, упражнение 4.

Задача 1.

Плоский конденсатор ёмкостью $C = 15$ пФ зарядили до разности потенциалов $U= 100$ В, затем отключили от источника и погрузили полностью в жидкий диэлектрик ($\varepsilon = 1,5$). Определите изменение энергии конденсатора $\Delta W$.
Решение. Так как конденсатор заряжен и отключен от источника, то, что бы мы ни производили с ним, заряд сохраняется. Начальная энергия конденсатора:
$$W_1=\frac{CU^2}{2}$$
Конечная
$$W_2=\frac{C_1U_1^2}{2}=\frac{\varepsilon CU_1^2}{2}$$
Так как $q=const$, то
$$CU=\varepsilon CU_1$$
$$U_1=\frac{U}{\varepsilon }$$
Таким образом
$$W_2=\frac{\varepsilon C U^2}{2\varepsilon^2 }=\frac{ CU^2}{2\varepsilon}=\frac{W_1}{\varepsilon }$$
Тогда
$$\Delta W=W_2-W_1=\frac{W_1}{\varepsilon }-W_1=\frac{CU^2}{2}\left(\frac{1}{\varepsilon }-1\right)$$
$$\Delta W=\frac{15\cdot 10^{-12}\cdot 100^2}{2}\left(\frac{1}{1,5}-1\right)=-2,5\cdot 10^{-8}$$
Ответ: $-2,5\cdot 10^{-8}$ Дж.

Задача 2.

Три конденсатора ёмкостью $C = 1$ мкФ каждый соединены последовательно. Конденсаторы зарядили и отключили от источника. Заряд этой батареи $q = 10^{-4}$ Кл. Затем пространство между обкладками одного из конденсаторов заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 2$. Найдите энергию, запасённую в электрическом поле этих конденсаторов, и напряжение на зажимах батареи после заполнения диэлектриком одного из конденсаторов.
Решение. Если все конденсаторы соединены последовательно, то их общая емкость равна $C_0=\frac{C}{3}$ (до введения диэлектрика). Если добавить диэлектрик, то вычислить общую емкость можно по формуле:
$$C_{10}=\frac{C_1C_2C_3\varepsilon }{ C_1C_2+ C_2C_3\varepsilon + C_1C_3\varepsilon }=\frac{C^3\varepsilon }{ C^2+ C^2\varepsilon + C^2\varepsilon } =\frac{\varepsilon C}{2\varepsilon +1}$$
Так как заряд сохраняется, то
$$q=C_{10} U$$
$$U=\frac{q}{ C_{10} }=\frac{q(2\varepsilon +1)}{ \varepsilon C}=\frac{10^{-4}\cdot 5}{ 2\cdot 10^{-6}}=250$$
Определим энергию:
$$W=\frac{q^2}{2C_{10}}=\frac{q^2(2\varepsilon +1)}{2\varepsilon C }=\frac{10^{-8}\cdot 5}{4\cdot 10^{-6} }=1,25\cdot 10^{-2}$$
Ответ: новое напряжение на зажимах батареи конденсаторов 250 В, а энергия - $1,25\cdot 10^{-2}$ Дж.

Задача 3.

Энергия заряженного плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, равна $W_1= 2\cdot 10^{- 5}$ Дж. После отключения конденсатора от источника напряжения диэлектрик из конденсатора вынули, совершив при этом работу $A= 7\cdot 10^{-5}$ Дж. Найдите диэлектрическую проницаемость  диэлектрика.
Решение. Пусть
$$W_1=\frac{\varepsilon C U_1^2}{2}$$
Тогда по закону сохранения энергии
$$W_1+A=W_2$$
А
$$W_2=\frac{CU_2^2}{2}$$
Перепишем ЗСЭ:
$$\frac{\varepsilon C U_1^2}{2}+A=\frac{CU_2^2}{2}$$
Но заряд сохраняется, так как конденсатор от источника отключили, поэтому
$$C_1U_1=C_2U_2$$
$$ \varepsilon C U_1=CU_2$$
$$U_2=\varepsilon U_1$$
Вернемся опять к ЗСЭ:
$$\frac{\varepsilon C U_1^2}{2}+A=\frac{C\varepsilon^2 U_1^2}{2}$$
Откуда
$$A=\frac{CU_1^2}{2}\left(\varepsilon^2-\varepsilon\right)$$
$$A=\frac{C\varepsilon U_1^2}{2}\left(\varepsilon-1 \right)$$
$$A=W_1\left(\varepsilon-1 \right)$$
$$\frac{A}{W_1}=\varepsilon-1$$
$$\varepsilon=\frac{A}{W_1}+1=\frac{7}{2}+1=4,5$$
Ответ: $\varepsilon=4,5$.