Две задачи с емкостями

Задача 1.

В широкий сосуд с жидкостью частично погружается плоский конденсатор. Конденсатор подключен к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора постоянную разность потенциалов $U$. Расстояние между пластинами $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$. На какую высоту поднимется жидкость в конденсаторе? Поверхностным натяжением пренебречь.

Рисунок к задаче 1

Решение. Ёмкость конденсатора с жидкостью можно найти как сумму емкостей двух конденсаторов: воздушного и с жидкостью в качестве диэлектрика, включенных параллельно. $a$ - длина пластин конденсатора.

$$C=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 h a}{d}+\frac{\varepsilon_0(L- h) a}{d}$$

$$C=\frac{\varepsilon_0 a}{d}\cdot (\varepsilon h+(L-h))$$

$$C=\frac{\varepsilon_0 a}{d}\cdot (L+h(\varepsilon -1))$$

Энергия заряженного конденсатора $\frac{CU^2}{2}$, энергия жидкости - $mg\frac{h}{2}$ ($h$ отсчитываем от уровня в сосуде), работа батареи по зарядке конденсатора $A=-qU=-CU^2$. Полная энергия всей системы

$$W=\frac{CU^2}{2}+mg\frac{h}{2}- CU^2$$

Найдем минимум этой энергии, он будет достигнут при максимальном уровне жидкости в конденсаторе.

$$W=mg\frac{h}{2}-\frac{CU^2}{2}=\rho V g \frac{h}{2}-\frac{\varepsilon_0 a U^2}{2d}\cdot (L+h(\varepsilon -1))$$

$$W=\rho a h d\cdot g \frac{h}{2}-\frac{\varepsilon_0 a U^2}{2d}\cdot (L+h(\varepsilon -1))$$

Возьмем производную

$$\frac{dW}{dh}=\rho a h d g-\frac{U^2\varepsilon_0 a}{2d}\cdot (\varepsilon -1)=0$$

$$\rho h d g=\frac{U^2\varepsilon_0}{2d}\cdot (\varepsilon -1)$$

$$h=\frac{U^2\varepsilon_0 (\varepsilon -1)}{2d^2\rho g}$$

Ответ: $h=\frac{U^2\varepsilon_0 (\varepsilon -1)}{2d^2\rho g}$.

Задача 2.

Параметры цепи $\varepsilon=27$ В, $C=1$  Определить заряд конденсатора.

Рисунок ко второй задаче

Решение. Поскольку через ветвь с конденсатором ток течь не будет при заряженном конденсаторе, то отсоединим эту ветвь без изменения токораспределения в цепи. Ток замкнется в левом контуре, через оба источника:

$$I=\frac{\varepsilon+3\varepsilon}{3r}=\frac{4\varepsilon }{3r}$$

На зажимах источника будет напряжение:

$$U=3\varepsilon-2r\cdot\frac{4\varepsilon }{3r}=\frac{\varepsilon }{3}$$

Тогда

$$q=CU=1\cdot 10^{-6}\cdot\frac{27}{3}=9\cdot 10^{-6}$$

Ответ: 9 мкКл.