Две задачи, решаемые с помощью метода распределения токов в схеме

Задача 1.

В схеме, показанной на рисунке, где $R_1=60$ Ом, $R_2=20$ Ом, $R_3=40$ Ом, $R_4=20$ Ом, батарею и конденсатор поменяли местами. Во сколько раз $n$ изменился при этом заряд конденсатора? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Рисунок к первой задаче

Решение. Определим напряжение между точками подключения конденсатора в положении на картинке. Понадобится определить общее сопротивление схемы. Найдем распределение токов в схеме, здесь это просто:

Распределение токов вначале 

Для того, чтобы найти сопротивление схемы, нужно пройти любым путем от входа до выхода, суммируя падения напряжений, после чего полученную сумму разделить на входной ток.

$$R_{01}=\frac{60\cdot 4I}{7I}=\frac{240}{7}$$

$$7I=\frac{7U}{240}$$

$$I=\frac{U}{240}$$

Определяем потенциалы точек подключения конденсатора, левая:

$$\varphi_1=40\cdot \frac{4U}{240}=\frac{2}{3}U$$

$$\varphi_2=60\cdot \frac{3U}{240}=\frac{3}{4}U$$

$$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1=\frac{U}{12}$$

Меняем местами батарею и конденсатор, получаем схему:

Схема после того, как источник и конденсатор поменяли местами

Определим напряжение между точками подключения конденсатора в положении на картинке. Найдем распределение токов в схеме, здесь это тоже просто:

Распределение токов после изменений в схеме

Для того, чтобы найти сопротивление схемы, нужно пройти любым путем от входа до выхода, суммируя падения напряжений, после чего полученную сумму разделить на входной ток.

$$R_{02}=\frac{100\cdot 2I_x}{7I_x}=\frac{200}{7}$$

$$7I_x=\frac{7U}{200}$$

$$I_x=\frac{U}{200}$$

Определяем потенциалы точек подключения конденсатора, левая:

$$\varphi_{1x}=40\cdot \frac{2U}{200}=\frac{2}{5}U$$

$$\varphi_{2x}=20\cdot \frac{5U}{200}=\frac{1}{2}U$$

$$\Delta \varphi_x= \varphi_{2x} - \varphi_{1x}=\frac{U}{10}$$

Заряд конденсатора пропорционален напряжению на нем, поэтому

$$n=\frac{q_2}{q_1}=\frac{\Delta \varphi_x}{\Delta \varphi}=\frac{U}{10}\cdot\frac{12}{U}=1,2$$

Ответ: заряд изменится в $n=1,2$ раза.

Задача 2.

В схеме на рисунке $U_0=4,5$ В, $R=150$ Ом. Найдите показания всех идеальных амперметров.

Рисунок ко второй задаче

Решение. Подберем распределение токов по обоим законам Кирхгофа. При этом, так как амперметры идеальны, у них нет сопротивлений, и можно их заменить отрезком провода. А тогда легко придумать правильное распределение токов:

Распределение токов в схеме

Для того, чтобы найти сопротивление схемы, нужно пройти любым путем от входа до выхода, суммируя падения напряжений, после чего полученную сумму разделить на входной ток.

$$R_0=\frac{7I\cdot 3R+I\cdot 9R}{10I}=\frac{30IR}{10I}=3R=450$$

Входной ток

$$10I=\frac{U}{R_0}=\frac{4,5}{450}=0,01$$

$$I=0,001$$

Токи через амперметры, через первый:

$$I_1=3I=0,003$$

Через второй:

$$I_2=2I=0,002$$

Через третий:

$$I_3=I=0,001$$

Ответ: ток через первый амперметр $I_1=3I=0,003$, через второй $I_2=2I=0,002$, через третий $I_3=I=0,001$.