Две задачи на анализ RC - цепи

Сегодня разберем решение двух задач с конденсаторами. Задачи несложные, цель состоит в правильном (для ЕГЭ) оформлении решения.

Задача 1.

В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, к конденсаторам емкостью $C_1=1$ мкФ и $C_2=2$ мкФ подключена цепочка из двух последовательно соединенных батареек с $\varepsilon_1=3$ В и $\varepsilon_2=9$ В. Найдите разность потенциалов между точками $A$ и $B$, если до сборки цепи конденсаторы были не заряжены.

Рисунок к задаче 1

Обозначаем потенциалы точек $A$ и $B$ как $\varphi_A$ и $\varphi_B$ соответственно. Тогда

$$\Delta \varphi_{AB}=\varphi_B -\varphi_A$$

Предположим, что полярность такая, как на рисунке:

К задаче 1 - анализ

Тогда потенциал точки $F$ больше потенциала точки $A$ ровно на $\varepsilon_1$:

$$\varphi_F=\varphi_A+\varepsilon_1$$

Таким же будет и потенциал точки $E$.

Потенциал точки $M$ меньше потенциала точки $B$ ровно на $\varepsilon_2$:

$$\varphi_M=\varphi_B-\varepsilon_2$$

Таким же будет и потенциал точки $N$.

По закону сохранения заряда

$$C_1(\varphi_A-(\varphi_B-\varepsilon_2))=C_2(\varphi_B-(\varphi_A+\varepsilon_1))$$

$$C_1\varphi_A- C_1 (\varphi_B-\varepsilon_2)=C_2\varphi_B- C_2 (\varphi_A+\varepsilon_1)$$

$$C_1\varphi_A- C_1 \varphi_B+ C_1 \varepsilon_2=C_2\varphi_B- C_2 \varphi_A-C_2\varepsilon_1$$

$$-C_1(\varphi_B - \varphi_A)+ C_1 \varepsilon_2=C_2(\varphi_B - \varphi_A)-C_2\varepsilon_1$$

$$(C_2+C_1)(\varphi_B - \varphi_A)= C_1 \varepsilon_2+C_2\varepsilon_1$$

$$\Delta \varphi_{AB}=\varphi_B -\varphi_A=\frac{ C_1 \varepsilon_2+C_2\varepsilon_1}{ C_1+C_2}=\frac{2\cdot3+1\cdot9}{3}=5$$

При оформлении в последней строке обязательно указывать единицы измерения, поскольку расчет произведен не в системе СИ.

Ответ: 5 В.

Задача 2.

В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, ключ К замкнут продолжительное время. $\varepsilon=2$ В, $r=100$ Ом, $C=0,1$ мкФ, $R=4$ кОм.

Ключ $K$ размыкают. Какое количество теплоты выделится в цепи после этого?

К задаче 2

Решение. Ток в цепи будет протекать в контуре ЭДС - $R$. Он будет равен по закону Ома для полной цепи

$$I=\frac{\varepsilon }{r+R}$$

И по закону Ома для участка цепи создаст падение напряжения на резисторе $R$

$$U_R=IR=\frac{\varepsilon \cdot R}{r+R}$$

Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, то

$$U_C=U_R=\frac{\varepsilon \cdot R}{r+R}$$

Тогда энергия электрического поля, запасенная конденсатором, равна

$$W_C=\frac{CU^2}{2}=\frac{C \varepsilon^2 \cdot R^2}{2(r+R)^2}$$

Сразу после размыкания ключа напряжение и заряд на конденсаторе скачком не изменятся.

Когда наступит новый установившийся режим, тока в цепи не будет и новое напряжение на конденсаторе будет равно

$$U_C^{*}=\varepsilon$$

А новая энергия конденсатора будет равна

$$W^{*}=\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

Отметим, что напряжение $U_C<\varepsilon$, значит, первоначальный заряд на конденсаторе меньше, чем установившийся в конце процесса.

$$q<q^{*}$$

Заряд на верхней обкладке стал больше, а значит, притек через источник и источник совершил работу по перемещению этого заряда. Работа эта положительна, так как заряд перемещался в направлении действия сторонних сил в источнике. По закону сохранения энергии

$$A_{cm}= W^{*}-W_C+Q$$

$$A_{cm}=\varepsilon \cdot \Delta q=\varepsilon(C\varepsilon-CU_C)$$

$$ C\varepsilon-CU_C=\frac{C\varepsilon^2}{2}-\frac{C\varepsilon^2 R^2}{2(R+r)^2}+Q$$

Откуда

$$C\varepsilon \left(\varepsilon-\frac{\varepsilon R}{R+r}\right)=\frac{1}{2}C\varepsilon^2\left(1-\frac{R^2}{(R+r)^2}\right)+Q$$

$$\frac{C\varepsilon^2 r}{R+r}=\frac{C\varepsilon^2}{2}\left(1-\frac{R^2}{(R+r)^2}\right)+Q$$

$$\frac{C\varepsilon^2 r}{R+r}=\frac{C\varepsilon^2}{2}\frac{(R+r+R)(R+r-R)}{(R+r)^2}+Q$$

$$\frac{2C\varepsilon^2 r(R+r)}{2(R+r)^2}-\frac{C\varepsilon^2}{2}\frac{(2R+r)r}{(R+r)^2}=Q$$

И, наконец,

$$Q=\frac{ C\varepsilon^2 r^2}{2(R+r)^2}=\frac{ 0,1\cdot10^{-6}\cdot 2^2 \cdot 100^2}{2(4000+100)^2}=11,8\cdot10^{-11}$$

Ответ: 0,118 нДж