Диэлектрические пластины

Задача 1.

В плоский конденсатор вдвигается с постоянной скоростью $\upsilon=6$ мм/c пластина из диэлектрика с $\varepsilon=5$. Определите ток в цепи батареи, подключенной к конденсатору. ЭДС батареи $E=200$ В, $h=4$ мм, площадь квадратных пластин конденсатора $S=400$ мм$^2$.

Рисунок к задаче 1

Решение. При движении пластины емкость конденсатора возрастает. Так как при этом конденсатор подключен к источнику, напряжение на нем постоянное. Поэтому

$$I=\frac{dq}{dt}=\frac{UdC}{dt}$$

Вспоминаем формулу емкости (воздушного конденсатора):

$$C=\frac{\varepsilon_0 l^2}{h}$$

Здесь $l$ - размер пластины конденсатора.

Запишем емкость конденсатора, когда пластина уже въехала в него на расстояние $x$ - $C_x$. Такой конденсатор эквивалентен двум, включенным параллельно: воздушному и с диэлектриком. Емкость воздушного конденсатора при этом:

$$ C_{voz}=\frac{\varepsilon_0 l(l-x)}{h}$$

Емкость конденсатора с пластиной диэлектрика:

$$ C_{diel}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon lx}{h}$$

Полная емкость составного конденсатора

$$C_x= C_{voz}+ C_{diel}=\frac{\varepsilon_0 l(l-x)}{h}+\frac{\varepsilon_0 \varepsilon lx}{h}$$

Чтобы определить ток, возьмем производную:

$$I=U\frac{\varepsilon_0 l }{h}\frac{d(l-x)}{dt}+ U\frac{\varepsilon_0 \varepsilon l }{h}\frac{dx)}{dt}$$

$$I=U\frac{\varepsilon_0 l }{h}\frac{d(l-\upsilon t)}{dt}+ U\frac{\varepsilon_0 \varepsilon l }{h}\frac{d\upsilon t)}{dt}$$

$$I=-U\frac{\varepsilon_0 l }{h}\upsilon+ U\frac{\varepsilon_0 l \varepsilon }{h}\upsilon $$

$$I= \frac {U \varepsilon_0 l }{h}\upsilon(\varepsilon-1)$$

Осталось определить $l$:

$$l=\sqrt{S}$$

$$I= \frac {U \varepsilon_0 \sqrt{S}}{h}\upsilon(\varepsilon-1)= \frac {200\cdot 8,85\cdot10^{-12} \cdot 0,02}{0,004}\cdot 0,004(5-1)=141,6\cdot10^{-12} $$

Ответ: $I=141,6$ пА.

Задача 2.

Две параллельные пластины ничтожно малой толщины заряжены одноименно, причем поверхностная плотность заряда на верхней пластине $\sigma_1=3$ мкКл/м$^2$, а на нижней $\sigma_2=6$ мкКл/м$^2$. Расстояние между пластинами $h=1$ см мало по сравнению с линейными размерами пластин. Между пластинами вставлена плоскопараллельная парафиновая пластинка толщиной $d=5$ мм. Диэлектрическая проницаемость парафина $\varepsilon=2$. Определить напряженность поля $E_1$ между пластинами вне диэлектрика, напряженность поля $E_2$ внутри диэлектрика и разность потенциалов между пластинами.

Рисунок к задаче 2

Решение. Напряженность поля, создаваемая плоскостью, можно определить как

$$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Так как пластины заряжены одноименно, вектора напряженностей будут направлены от каждой из пластин (для положительного заряда), и, следовательно, в пространстве между ними – встречно. Так как $\sigma_2>\sigma_1$, то $E_2>E_1$, поэтому результирующий вектор напряженности на рисунке должен быть направлен вверх. В пространстве без диэлектрика

$$E_1=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{2\varepsilon_0}=\frac{(6-3)\cdot 10^{-6}}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}=170000$$

Внутри диэлектрика

$$E_2=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{2\varepsilon_0\varepsilon}=\frac{(6-3)\cdot 10^{-6}}{2\cdot 2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}=85000$$

Разность потенциалов между пластинами:

$$\Delta \Phi=E_1(h-d)+E_2d=170000\cdot 0,005+85000\cdot 0,005=1275$$

Ответ: $E_1=170$ кВ/м, $E_2=85$ кВ/м, $\Delta \Phi=1275$ В.