Давление электрического поля - задачи Сириуса со сферами

Задача 1.

Определите электрическое давление в точках равномерно заряженной сферы радиуса $R=20$ см, если её заряд равен $Q=1$ мкКл. Ответ выразите в Па, округлите до сотых. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н⋅м$^2$.

Решение. Определим поверхностную плотность заряда:

$$\sigma=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{4\pi R^2}$$

Давление будет определяться выражением:

$$p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{16\pi^2 R^4\cdot 2\varepsilon_0}=\frac{10^{-12}}{16\pi^2\cdot 0,2^4\cdot 2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}=0,22$$

Ответ: 0,22 Па

Задача 2.

Найдите электрическое давление на внутреннюю поверхность сферического конденсатора, заряженного до разности потенциалов 200 В. Радиус внешней обкладки конденсатора $R=25,0$ см, радиус внутренней $r=24,5$ см. Ответ выразите в мПа, округлите до десятых.

Решение. Емкость сферического конденсатора

$$C=\frac{4\pi \varepsilon_0}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)}$$

Заряд конденсатора

$$Q=CU=\frac{4\pi \varepsilon_0 U}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)}$$

Давление будет определяться выражением:

$$p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{16\pi^2 r^4\cdot 2\varepsilon_0}$$

$$p=\frac{C^2U^2}{16\pi^2 r^4\cdot 2\varepsilon_0}=\frac{16\pi^2 \varepsilon_0^2U^2}{16\pi^2 r^4\cdot 2\varepsilon_0\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^2}$$

$$p=\frac{\varepsilon_0U^2}{2r^4\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^2}$$

$$p =\frac{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 200^2}{2\cdot 0,245^4\cdot \left(\frac{1}{0,245}-\frac{1}{0,25}\right)^2}=0,00737$$

Ответ: 7,4 мПа