Давление электрического поля - задачи Сириуса с конденсаторами - 1

Задача.

Между обкладками сферического конденсатора, несущими заряды $q=10$ мкКл и $−q$, находятся два сферических слоя равной толщины: один из материала с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1=3,0$, другой — из материала с проницаемостью $\varepsilon_2=1,5$. Радиус внутренней обкладки равен $r=14,5$ см, радиус внешней обкладки $R=15,5$ см.

Рисунок к задаче

Найдите электрическое давление на границу соприкосновения диэлектриков. Ответ выразите в Па, округлите до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н$\cdot$ м$^2$.

Решение. Аналогично предыдущим задачам («Давление электрического поля - задачи Сириуса с конденсаторами») пусть поверхностная плотность зарядов на границе раздела равна $\sigma$, и находится эта граница во внешнем поле $E$.

Определяем поверхностную плотность заряда и напряженность поля. Для этого составим систему уравнений:

$$\frac{E_0}{\varepsilon_2}=E+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{\varepsilon_1}=E-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Вычитаем уравнения:

$$E_0\left(\frac{1}{1,5}-\frac{1}{3}\right)= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{3}= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\sigma=\frac{ E_0\varepsilon_0}{3}$$

Определяем $E$:

$$E=\frac{E_0}{\varepsilon_2}-\frac{ E_0\varepsilon_0}{\varepsilon_1\cdot 2\varepsilon_0}=\frac{E_0}{2}$$

$$E_0=\frac{q}{S\varepsilon_0}$$

Сила давления равна

$$F=\sigma \Delta S E=\frac{ E_0\varepsilon_0}{3}\cdot \Delta S\cdot \frac{E_0}{2}$$

Давление

$$\frac{F}{\Delta S}=\frac{E_0^2\varepsilon_0}{6}=\frac{q^2}{6\varepsilon_0 S^2}$$

$$\frac{F}{\Delta S}=\frac{E_0^2\varepsilon_0}{6}=\frac{q^2}{6\varepsilon_0 16\pi^2 R_0^4}$$

Где $R_0=0,15$ м – радиус, где проходит граница раздела диэлектриков.

$$p=\frac{10^{-10}}{6\cdot 16\pi^2 \cdot 0,15^4\cdot8,85\cdot 10^{-12}}=23,56$$

Ответ: 24 Па