Давление электрического поля - задачи Сириуса с конденсаторами

Задача 1.

Между обкладками плоского конденсатора площадью $S=100$ см$^2$ находятся две диэлектрические пластины: одна из материала с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1=2$, другая — из материала с проницаемостью $\varepsilon_2=3$. Конденсатор подключили к батарее с напряжением на выводах $U=100$ В.

Рисунок к задаче 1

Найдите электрическое давление на границу соприкосновения пластин, если ёмкость конденсатора (с диэлектриками) равна $C=100$ пФ. Ответ выразите в мПа, округлите до десятых. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н$\cdot$ м$^2$.

Решение. Если извлечь пластины диэлектрика, то распределение зарядов на пластинах не изменится, а поле будет равно

$$E_0=\frac{q}{S\varepsilon_0}$$

Слева от границы раздела поле ослаблено в 2 раза, а слева – в три:

Поле конденсатора

Здесь $\varepsilon=1$, $\varepsilon_1=2\varepsilon=2$, $\varepsilon_2=3\varepsilon=3$.

Пусть поверхностная плотность зарядов на границе раздела равна $\sigma$, и находится эта граница во внешнем поле $E$.

Определяем поверхностную плотность заряда и напряженность поля. Для этого составим систему уравнений:

$$\frac{E_0}{2\varepsilon}=E+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{3\varepsilon}=E-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Вычитаем уравнения:

$$\frac{E_0}{\varepsilon}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{6\varepsilon}= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\sigma=\frac{ E_0\varepsilon_0}{6\varepsilon}$$

Определяем $E$:

$$E=\frac{E_0}{2\varepsilon}-\frac{ E_0\varepsilon_0}{6\varepsilon\cdot 2\varepsilon_0}=\frac{5E_0}{12\varepsilon_0}$$

Сила давления равна

$$F=\sigma \Delta S E=\frac{ E_0\varepsilon_0}{6\varepsilon}\cdot \Delta S\cdot \frac{5E_0}{12\varepsilon_0}$$

Давление

$$\frac{F}{\Delta S}=\frac{5E_0^2\varepsilon_0}{72\varepsilon^2}=\frac{5q^2}{72\varepsilon_0\varepsilon^2 S^2}=\frac{5C^2U^2}{72\varepsilon_0\varepsilon^2 S^2}$$

$$p=\frac{5\cdot 10^{-20}\cdot 10^4}{72\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 10^{-4}}=0,007846=7,8\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 7,8 мПа

Задача 2.

Между обкладками плоского конденсатора площадью $S=100$ см$^2$, несущими заряды $q=130$ нКл и $−q$, находятся две диэлектрические пластины: одна толщиной $d_1=2$ мм из материала с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1=3,0$, другая толщиной $d_2=1$ мм из материала с проницаемостью $\varepsilon_2=1,5$. Площадь диэлектрических пластин вдвое меньше, чем площадь обкладок.

Рисунок к задаче 2

Найдите электрическое давление на границу соприкосновения пластин. Ответ выразите в Па, округлите до десятых. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/Н$\cdot$ м$^2$.

Решение. Сначала определим емкости конденсаторов, ибо нашу картинку можно интерпретировать как два включенных параллельно конденсатора:

Два эквивалентных конденсатора

Воздушный конденсатор:

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 \frac{S}{2}}{d_1+d_2}$$

Два конденсатора с диэлектриками, включенными последовательно:

$$C_{23}=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}=\frac{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1 \frac{S}{2}}{d_1}\cdot \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2\frac{S}{2}}{d_2}}{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1 \frac{S}{2}}{d_1}+\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_2\frac{S}{2}}{d_2}}$$

$$C_{23}=\frac{\frac{\varepsilon_1}{d_1}\cdot \frac{\varepsilon_2}{d_2}\cdot \varepsilon_0\frac{S}{2}}{\frac{d_2\varepsilon_1}{d_2d_1}+\frac{d_1\varepsilon_2}{d_2d_1}}$$

$$C_{23}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2\frac{S}{2}}{ d_2\varepsilon_1+ d_1\varepsilon_2}$$

Нам необходимо знать соотношение емкостей, чтобы понять, на каком из конденсаторов сколько заряда сосредоточено.

$$\frac{C_{23}}{C_1}=2,25$$

Поэтому на $C_1$ - 40 нКл, на $C_{23}$ - 90 нКл.

Поле конденсатора

Пусть поверхностная плотность зарядов на границе раздела равна $\sigma$, и находится эта граница во внешнем поле $E$.

Определяем поверхностную плотность заряда и напряженность поля. Для этого составим систему уравнений:

$$\frac{E_0}{\varepsilon_2}=E+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{\varepsilon_1}=E-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Вычитаем уравнения:

$$E_0\left(\frac{1}{1,5}-\frac{1}{3}\right)= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\frac{E_0}{3}= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

$$\sigma=\frac{ E_0\varepsilon_0}{3}$$

Определяем $E$:

$$E=\frac{E_0}{\varepsilon_2}-\frac{ E_0\varepsilon_0}{\varepsilon_1\cdot 2\varepsilon_0}=\frac{E_0}{2}$$

$$E_0=\frac{q}{S\varepsilon_0}$$

Сила давления равна

$$F=\sigma \Delta S E=\frac{ E_0\varepsilon_0}{3}\cdot \Delta S\cdot \frac{E_0}{2}$$

Давление

$$\frac{F}{\Delta S}=\frac{E_0^2\varepsilon_0}{6}=\frac{q^2}{6\varepsilon_0 S^2}$$

$$p=\frac{90^{2}\cdot 10^{-18}}{6\cdot 50^2\cdot 10^{-8}\cdot8,85\cdot 10^{-12}}=6,1$$

 Ответ: 6,1 Па