Частицы в поле: задачи Сириуса - 2

Задача 1.

Посередине между горизонтальными пластинами плоского конденсатора висит капелька ртути. Расстояние между пластинами 5 см, разность потенциалов 1 кВ. В нижней пластине под каплей имеется отверстие, сквозь которое она может свободно пройти. Внезапно разность потенциалов на пластинах уменьшается до 995 В. Найдите путь, который пройдёт капля за время 1,1 с. Сопротивлением воздуха и неоднородностью электрического поля вблизи отверстия можно пренебречь. Ответ выразите в см, округлив до десятых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Раз капля висит, значит, сила Кулона и сила тяжести равны:

$$mg=qE$$

$$E=\frac{U}{d}=20000=\frac{mg}{q}$$

Когда поле уменьшится, сила тяжести «победит» и частица начнет падать, конечно, не с ускорением $g$, а медленнее:

$$ma=mg-qE_1$$

Где $E_1=19900$ В/м.

$$a=g-\frac{qE_1}{m}=0,05$$

Капле до пластины конденсатора предстоит пройти 2,5 см, и мы легко убеждаемся, что это займет у нее 1 с:

$$\frac{d}{2}=\frac{at^2}{2}$$

$$t^2=\frac{d}{a}=1$$

Осталось еще $0,1$ с, но надо учесть, что частица наберет скорость

$$\upsilon=at=0,05\cdot 1=0,05$$

С такой скоростью она выскочит через дырку и окажется в пространстве, где поля нет. На нее действует ускорение свободного падения. Тогда за оставшееся время частица пройдет еще расстояние в 5,5 см:

$$l=\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}=0,05\cdot 0,1+0,05=0,055$$

В итоге пройденное за 1,1 с расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.

Задача 2.

Пылинка массой $m=1$ мг и зарядом $q=10^{−11}$ Кл влетает в промежуток между вертикальными сетками со скоростью $\upsilon=0,2$ м/с, направленной перпендикулярно сеткам. Какой должна быть напряжённость $E$ однородного электрического поля между сетками, чтобы пылинка вылетела из промежутка через ту же сетку на расстоянии $h=5$ см от места входа? Ускорение свободного падения равно $g=10$ м/c$^2$. Ответ выразите в кВ/мм, округлив до десятых.

Рисунок ко второй задаче

Решение. Пылинка наша падает. Падает на 5 см. Давайте определим время, за которое это произойдет:

$$h=\frac{gt^2}{2}$$

$$t^2=\frac{2h}{g}=\frac{0,1}{10}=0,01$$

$$t=0,1$$

За половину этого времени она должна лишиться своей скорости:

$$0=\upsilon-a\frac{t}{2}$$

$$a=\frac{2\upsilon}{t}=4$$

С другой стороны,

$$a=\frac{F_q}{m}=\frac{qE}{m}$$

Откуда

$$E=\frac{am}{q}=\frac{4\cdot 10^{-6}}{10^{-11}}=4\cdot10^5$$

Это в В/м, а в В/мм – 400 В/мм.

Ответ: 0,4 кВ/мм

Задача 3.

Электрон влетает в плоский заряженный конденсатор со скоростью $\upsilon$, направленной вдоль средней плоскости конденсатора AB. Через какое время нужно изменить направление электрического поля в конденсаторе на противоположное, не изменяя по абсолютной величине, чтобы на вылете из конденсатора электрон пересёк плоскость AB? Длина пластин $l$. Силу тяжести не учитывайте. Ответ выразите в единицах $\frac{l}{v}$, округлив до сотых.

Рисунок к задаче 3

Решение.  Пока поле направлено снизу вверх, электрон поднимется над плоскостью $AB$ на высоту $h$ за время $t_1$:

$$h=\frac{at_1^2}{2}$$

Он при этом приобретет вертикальную составляющую скорости: $$\upsilon=at_1$$

Тогда, чтобы пересечь на вылете плоскость $AB$, нужно, чтобы координата электрона по вертикальной оси снова стала бы равной нулю. Тогда:

$$-h- at_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$$ $$-\frac{at_1^2}{2}-a t_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$$

Искомое время - $t_1$, общее время пролета электрона равно $t=\frac{l}{\upsilon }$, тогда $t_2=t-t_1=\frac{l}{\upsilon }-t_1$, подставим в уравнение:

$$-\frac{at_1^2}{2}-a t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+\frac{a(\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2}{2}=0$$

Избавившись от ускорения, решим квадратное уравнение:

$$-t_1^2-2t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+ (\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2=0$$ $$t_1^2-2t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }-2\frac{lt_1}{\upsilon }+t_1^2=0$$ $$2t_1^2-4t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }=0$$ $$D=16\frac{l^2}{\upsilon^2}-2\cdot4\frac{l^2}{\upsilon^2}=8\frac{l^2}{\upsilon^2}$$ $$t_1=\frac{4\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{2\sqrt{2}l}{\upsilon}}{4}$$ $$t_1=\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}$$

Корень "с плюсом"  нам не подойдет, так как общее время пролета, равное $\frac{l}{\upsilon}$, всегда больше своей части, поэтому $$t_1=\frac{l}{\upsilon} - \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}$$ $$t_1=\frac{l}{\upsilon}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Ответ в указанных единицах $\frac{l}{\upsilon}$ будет равен $\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Ответ: $0,29$