Частицы в поле - задачи Сириуса

Задача 1.

В горизонтальной плоскости расположена гладкая прямая спица и два маленьких шарика с зарядом $Q=20$ мкКл. Вдоль спицы двигается из точки A заряженная бусинка массой $m=10$ г. Заряд бусинки равен $q=10$ мкКл. Центры шариков и бусинки в начальный момент образуют правильный треугольник со стороной $a=50$ см. С какой минимальной скоростью $\upsilon_{min}$ необходимо запустить бусинку, чтобы она пролетела посередине между шариками? Ответ выразите в м/с, округлив до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Необходимо, чтобы кинетической энергии бусинки хватило бы, чтобы преодолеть сопротивление Кулоновской силы и оказаться между шариками – а дальше они пропихнут ее сами.

Потенциальная энергия бусинки вначале:

$$W_{p1}=\frac{2kQq}{a}$$

Коэффициент 2 присутствует, потому что оба заряда $Q$ дают вклад в потенциал точки А. Потенциальная энергия бусинки в конце:

$$W_{p2}=\frac{2kQq}{\frac{a}{2}}=\frac{4kQq}{a}$$

Закон сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+ W_{p1}= W_{p2}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+ \frac{2kQq}{a}= \frac{4kQq}{a}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2kQq}{a}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{4kQq}{am}}=\sqrt{\frac{4\cdot 9\cdot 10^9\cdot 20\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot 10^{-6}}{0,5\cdot 0,01}}=37,95$$

Ответ: 38 м/с

Задача 2.

В пространство между пластинами плоского конденсатора площадью $S=0,1$ м$^2$, несущими заряды $\pm 700$ нКл, влетает параллельно пластинам электрон с начальной cкоростью $\upsilon_0=10^7$ м/с. Расстояние между пластинами равно $d=1$ см. Начальное расположение электрона при влёте изображено на рисунке. Найдите изменение модуля скорости электрона к моменту, когда он кажется на расстоянии $\frac{d}{4}$ от положительно заряженной пластины. Ответ выразите в единицах $10^7$ м/с, округлив до десятых. Удельный заряд электрона $\frac{q_e}{m}=−1,76\cdot10^{11}$ Кл/кг. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10{−12}$ Ф/м.

Рисунок к задаче 2

Решение. Запишем напряженность поля, поскольку $Eq_e=F_q=ma$, а чтобы узнать скорость, необходимо знать ускорение.

$$E=\frac{q}{\varepsilon_0 S}$$

$$a=\frac{E q_e}{m}=\frac{q q_e }{m\varepsilon_0 S}$$

Сила Кулона направлена перпендикулярно пластинам, ускорение – так же. Значит, электрон будет развивать составляющую скорости, перпендикулярную пластинам. Так как начальной составляющей скорости, перпендикулярной пластинам, у электрона не было, то найдем приобретенную скорость с помощью формулы «без времени»

$$\frac{d}{2}\cdot 2a=\upsilon_{perp}^2$$

$$\upsilon_{perp}=\sqrt{ad}=\sqrt{\frac{q q_e d}{m\varepsilon_0 S}}=\sqrt{\frac{700\cdot 10^{-9}\cdot 1,76\cdot 10^{11}\cdot 0,01}{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 0,1}}=37,3\cdot 10^6$$

Теперь определим полную скорость электрона:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{perp}^2+\upsilon_0^2}=3,86\cdot10^7$$

Таким образом, скорость увеличилась на $2,86\cdot 10^7$.

Ответ: 2,9

Задача 3.

В плоский конденсатор длиной 5 см влетает электрон под углом $15^{\circ}$ к пластинам. Электрон обладает кинетической энергией 1500 эВ (электронвольт). Расстояние между пластинами конденсатора 1 см. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора, при которой электрон на выходе из него будет двигаться параллельно пластинам. Ответ выразите в В, округлив до целого числа.

Решение. В этой задаче у электрона была составляющая скорости, перпендикулярная пластинам, а поле ее «погасило». Это произошло за время, которое электрон пребывал внутри конденсатора. Найдем это время:

$$t=\frac{L}{\upsilon_0\cos \alpha}$$

Электрон имел скорость, перпендикулярную пластинам, равную $\upsilon_0\sin \alpha$, а при вылете она равна нулю:

$$0=\upsilon_0\sin \alpha-at$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{a}$$

Приравняем оба времени:

$$\frac{L}{\upsilon_0\cos \alpha}=\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{a}$$

$$La=\upsilon_0^2 \sin\alpha \cos\alpha$$

Так как неудобно иметь дело с углом $15^{\circ}$, то перепишем так:

$$La=\upsilon_0^2 \frac{\sin 2\alpha}{2}$$

Теперь разберемся с ускорением:

$$a=frac{F_q}{m}=\frac{E q_e}{m}=\frac{Uq_e}{m d}$$

Подставим ускорение:

$$\frac{Uq_e L}{m d}=\upsilon_0^2 \frac{\sin 2\alpha}{2}$$

$$U=\frac{m\upsilon_0^2}{2}\cdot \frac{\sin 2\alpha d}{L q_e}$$

$\frac{m\upsilon_0^2}{2}$ - начальная кинетическая энергия в Дж, если ее разделить на $q_e$ - получим в эВ.

$$U=E\cdot \frac{\sin 2\alpha d}{L}=\frac{1500\cdot 0,5\cdot 0,01}{0,05}=150$$

Ответ: 150 В.

Задача 4.

Четыре коаксиальные проводящие цилиндрические сетки радиусами $r_1=1$ см, $r_2=2$ см, $r_3=3$ см и $r_4=4$ см одинаковой высоты  $h>>r_4$ находятся под потенциалами соответственно $\varphi _1=0$ В, $\varphi _2=-2$ В, $\varphi _3=-3$ В и $\varphi _4=5$ В. Какую наименьшую скорость $\upsilon$, направленную к общей оси системы, нужно сообщить электрону, находящемуся «на бесконечности», чтобы он достиг сетки с радиусом $r_1$? Удельный заряд электрона $\frac{q_e}{m}=−1,76\cdot10^{11}$ Кл/кг. Полем тяжести пренебрегите. Ответ выразите в единицах $10^6$ м/c, округлив до сотых.

Рисунок к задаче 4

Решение. Электрон заряжен отрицательно, поэтому поле внешней сетки разгоняет его. Следовательно, он без труда приблизится к ней. После того, как он внешнюю сетку пройдет, поле будет тормозить его до сетки с радиусом $r_3$. Так как напряженность направлена в сторону меньшего потенциала, то после прохода сетки $r_3$ поле снова разгоняет электрон. То есть нам надо проскочить разность потенциалов 8 В. Но пока мы двигались из точки с потенциалом 0 до первой сетки поле наз разгоняло, знначит, сообщало нам энергию! Поэтому

$$\frac{m\upsilon_{min}^2}{2}+q_e(0-\varphi_4)=q_e(\varphi _3-\varphi _4)$$

$$\frac{m\upsilon_{min}^2}{2}=q_e\varphi _3$$

$$\upsilon_{min}^2=\frac{q_e}{m}\cdot 2\varphi _3$$

Здесь использован модуль заряда электрона и модуль потенциала:

$$\upsilon_{min}=\sqrt{\frac{q_e}{m}\cdot 2\varphi _3}=\sqrt{1,76\cdot10^{11}\cdot 2\cdot 3}=1,027\cdot10^6$$

Ответ: 1,03