Законы сохранения - 5

Снова представляю решения задач, которые мы разбирали на групповых занятиях летом с ребятами, желающими участвовать в олимпиадах.

Задача 9.

Два одинаковых маленьких шарика, соединенных невесомым твердым стержнем длиной $L$, падают на гладкую, абсолютно упругую горизонтальную плоскость. Непосредственно перед ударом нижнего шарика о плоскость скорости шариков оказались взаимно перпендикулярны. Каковы величина скорости центра масс гантели $\upsilon_c$ и угловая скорость вращения стержня $\omega$ сразу после удара? Под каким углом $\varphi$ к вертикали был наклонен стержень перед ударом?

Решение. Стержень в момент удара движется поступательно со скоростью $\upsilon_c$ и вращательно. Центр масс стержня посередине (он симметричный), и скорости вращения шариков относительно центра равны $\upsilon_{vr}$ по модулю и противоположны по направлению.

Пусть шарик 1 – нижний, который ударился о плоскость. Шарик 2 – верхний.

Скорость первого шарика складывается из скорости поступательного движения и вращательной.

$$\vec{\upsilon}_1=\vec{\upsilon}_c-\vec{\upsilon}_{vr}~~~~~~~~(1)$$

А для второго шарика

$$\vec{\upsilon}_2=\vec{\upsilon}_c+\vec{\upsilon}_{vr}~~~~~~~~(2)$$

Так как скорости перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$$(\vec{\upsilon}_c-\vec{\upsilon}_{vr})\cdot(\vec{\upsilon}_c+\vec{\upsilon}_{vr})=0$$

$$\upsilon_c^2-\upsilon_{vr}^2=0$$

$$\upsilon_c=\upsilon_{vr}$$

Где

$$\upsilon_{vr}=\omega R=\omega \frac{L}{2}$$

Закон сохранения энергии:

$$\frac{2m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}$$

$$2\upsilon_0^2=\upsilon_1^2+\upsilon_2^2$$

Складываем (1) и (2):

$$\vec{\upsilon_1}+\vec{\upsilon_2}=2\vec{\upsilon_c}$$

Возведем в квадрат правую и левую части, при этом удвоенное произведение равно нулю, так как скорости $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ перпендикулярны.

$$\upsilon_1^2+\upsilon_2^2=4\upsilon_c^2$$

Следовательно,

$$2\upsilon_0^2=4\upsilon_c^2$$

$$\upsilon_c=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}=\upsilon_{vr}$$

$$\omega=\frac{2\upsilon_{vr}}{L}=\frac{\upsilon_0 \sqrt{2}}{L}$$

Теперь ищем угол. На второй шарик действует сила, направленная вдоль стержня. А сил, действующих перпендикулярно стержню, нет. Так как сумма сил на это направление равна нулю, то скорость, спроецированная на данное направление, сохраняется. Она была равна $\upsilon_0\sin \varphi $. А стала равна проекции скорости $\upsilon_{2x}$ на эту ось, да еще вращательной скорости, проекция которой на эту ось будет равна ей самой.

$$\upsilon_x=\upsilon_0\sin \varphi $$

$$\upsilon_{2x}=\upsilon_{cx}+\upsilon_{vr_x}$$

Мы выяснили модуль скорости $\upsilon_c$, но не знаем ее направления.

В момент удара на гантель действует сила реакции опоры, направленная вверх, и сила тяжести (вертикально вниз). Это внешние силы. По теореме о центре масс ускорение центра масс направлено по вертикальной оси. Скорость центра масс до удара была равна $\upsilon_0$ и направлена вертикально вниз. Значит, скорость центра масс после удара может быть направлена только по вертикальной оси. Вероятно, вверх. Тогда проекция этой скорости на ось $x$ равна $-\upsilon_c\sin \varphi$

$$\upsilon_{2x}=-\upsilon_c\sin \varphi +\frac{\omega L}{2}=-\upsilon_c\sin \varphi +\upsilon_c $$

$$\upsilon_0\sin \varphi=-\upsilon_c\sin \varphi +\upsilon_c $$

$$\sin \varphi=\frac{\upsilon_c }{\upsilon_0+\upsilon_c }=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}(\upsilon_0+\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}})}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$

Ответ: $\upsilon_c=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}$, $\omega=\frac{\upsilon_0 \sqrt{2}}{L}$, $\varphi=\arcsin(\sqrt{2}-1)$.

 

Задача 10.

На неподвижное, ориентированное в вертикальной плоскости гладкое кольцо радиусом $R$ надета бусинка. К бусинке, находящейся в нижней точке кольца, крепится невесомая пружина, другим концом скрепленная с верхней точкой кольца. Пружина растянута так, что бусинка давит на кольцо с силой, вдвое превышающей силу тяжести, действующую на бусинку. Из-за неустойчивости бусинка начинает скользить по кольцу, и ее скорость достигает максимума в тот момент, когда пройдена треть кольца. Чему равна длина недеформированной пружины? Чему равна максимальная скорость бусинки?

Решение. Для положения бусинки в самой нижней точке кольца составим уравнение по второму закону Ньютона.

$$F_{upr1}-mg=N$$

По условию, $N=2mg$, следовательно,

$$ F_{upr1}=3mg$$

Пусть длина пружины в нерастянутом состоянии равна $l_0$. Тогда растяжение пружины будет равно $\Delta x_1=2R-l_0$, и можно записать с учетом предыдущего уравнения, что

$$2R-l_0=\frac{3mg}{k}$$

Когда бусинка пройдет треть окружности (что соответствует $120^{\circ}$), ей останется пройти до наивысшего положения $ 60^{\circ}$. То есть треугольник $OAB$ - правильный.

Значит, длина пружины равна в этом случае $R$ (вместе с удлинением).

Если скорость бусинки достигла максимума, значит, производная скорости равна нулю. Таким образом, равно нулю тангенциальное ускорение бусинки, направленное по касательной. А значит, сумма сил в проекции на касательную равна нулю.

Получаем второе уравнение:

$$0=F_{upr2}\cos 30^{\circ}-mg\cos 30^{\circ}$$

$$ F_{upr2}\cos 30^{\circ}=mg\cos 30^{\circ}$$

$$ F_{upr2}=mg$$

$$k\Delta x_2=mg$$

$$\Delta x_2=\frac{mg}{k}$$

Но

$$\Delta x_2=R-l_0$$

То есть

$$\frac{mg}{k}=R-l_0$$

Получили систему уравнений:

$$2R-l_0=\frac{3mg}{k}$$

$$ R-l_0=\frac{mg}{k}$$

Выражаем $l_0$ и подставляем во второе уравнение:

$$ l_0=2R-\frac{3mg}{k}$$

$$ R-2R+\frac{3mg}{k}=\frac{mg}{k}$$

$$R=\frac{2m}{k}$$

Тогда

$$ l_0=2R-\frac{3mg}{k}=2R-1,5R=0,5R$$

Следовательно, в первом случае растяжение пружины

$$\Delta x_1=2R-l_0=2R-0,5R=1,5R$$

Составим уравнение по закону сохранения энергии. В конечном положении бусинка находится на высоте $1,5R$ по отношению к первоначальному:

$$\frac{k\Delta x_1^2}{2}=mg\cdot 1,5R+\frac{m\upsilon_{max}^2}{2}+\frac{k\Delta x_2^2}{2}$$

Так как $ k\Delta x_1=3mg$, а$ k\Delta x_2=mg$, то

$$\frac{3mg\Delta x_1}{2}=mg\cdot 1,5R+\frac{m\upsilon_{max}^2}{2}+\frac{mg\Delta x_2}{2}$$

$$3mg\cdot 1,5R=mg\cdot 3R+m\upsilon_{max}^2+mg \cdot 0,5R$$

$$\upsilon_{max}^2=gR$$

$$\upsilon_{max}=\sqrt{gR}$$

Ответ: $ l_0=0,5R$, $\upsilon_{max}=\sqrt{gR}$.