Законы сохранения - 4

Снова представляю решения задач, которые мы разбирали на групповых занятиях летом с ребятами, желающими участвовать в олимпиадах. Продолжаем решать задачи на законы сохранения.

Задача 7.

Какую работу необходимо совершить, чтобы достаточно медленно переместить небольшой ящик массой $m$ из точки О в точку В по горке, действуя на него силой, направленной по касательной к траектории его движения? Профиль горки показан на рисунке, коэффициент трения ящика о горку равен $\mu$, ускорение свободного падения равно $g$. Указанные на рисунке значения координат считать известными.

К задаче 7

Решение. Разобьем горку на малые отрезки длины $\Delta l$. Они настолько малы, что каждый можно считать прямолинейным кусочком наклонной плоскости, и угол его наклона может быть разным, но находится в пределах первого и четвертого квадрантов, то есть от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.

На этом малом участке на ящик действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Ящик движется равномерно, так что сумма сил равна нулю.

$$N=mg\cos \alpha_i$$

$$F-mg\sin \alpha_i-F_{tr}=0$$

$$ F_{tr}=\mu N$$

$$ F_{tr}=\mu mg\cos \alpha_i $$

$$F_i= mg\sin \alpha_i+F_{tr}= mg\sin \alpha_i+\mu mg\cos \alpha_i=mg(\sin \alpha_i+\mu \cos \alpha_i)$$

Работа этой силы будет равна произведению силы на длину участка, поскольку сила везде направлена по касательной – то есть угол между силой и перемещением равен нулю.

$$A_i=F_i\Delta l_i$$

Сила на каждом участке может быть своя, так как угол наклона участка везде разный.

$$A_i=\Delta l_i mg(\sin \alpha_i+\mu \cos \alpha_i)$$

Но $\Delta l_i \sin \alpha_i=y_i$, а $\Delta l_i\cos \alpha_i=x_i$ - малые смещения груза вдоль осей. При этом $x_i>0$, так как ящик едет вправо, а вот $y_i$ из-за сложного рельефа горки может быть и отрицательным.

$$A_i=mg(y_i+\mu x_i)$$

Полная работа по перемещению ящика будет складываться из малых работ

$$A=\sum A_i=mg\sum(y_i+\mu x_i)=mg(\sum y_i+\mu \sum x_i)$$

$$A=mg((y_3-0)+\mu (x_3-0))=mg(y_3+\mu x_3)$$

Ответ: $A= mg(y_3+\mu x_3)$.

Задача 8.

На оси колеса подвешен маятник, состоящий из легкого стержня длины $R=10$ см и груза (см. рисунок). Масса груза равна массе колеса. Колесо стоит на горизонтальной поверхности, ему толчком сообщают некоторую скорость, и система приходит в движение. Определите начальную скорость $\upsilon_0$ колеса, при которой колесо отрывается от поверхности, когда стержень поворачивается на $180^{\circ}$, и груз занимает крайнее верхнее положение. Трения нет.

К задаче 8

Решение. Когда колесо толкнут влево, шарик начнет двигаться вправо. Относительно колеса он будет двигаться по окружности, и его относительная скорость

$$\upsilon_{otn}^2=2gR$$

Эта относительная скорость может быть также записана как

$$\upsilon_{otn}=\upsilon_{sh}-\upsilon_k$$

Колесо тоже приобретет скорость к моменту, когда шарик окажется в верхнем положении - $\upsilon_k$. $\upsilon_{sh}$ - скорость шарика относительно земли. По закону сохранения энергии

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon_k^2}{2}+\frac{m\upsilon_{sh}^2}{2}+2mgR$$

$$\upsilon_0^2=\upsilon_k^2+\upsilon_{sh}^2+4gR~~~~~~~~~~(1)$$

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon_0=m\upsilon_{sh}+m\upsilon_k$$

$$\upsilon_0=\upsilon_{sh}+\upsilon_k$$

Имеем:

$$\upsilon_{sh}-\upsilon_k=\sqrt{2gR}$$

$$\upsilon_{sh}+\upsilon_k=\upsilon_0$$

Складываем уравнения:

$$2\upsilon_{sh}=\upsilon_0+\sqrt{2gR}$$

Вычитаем уравнения:

$$-2\upsilon_k=\sqrt{2gR}-\upsilon_0$$

Получили:

$$\upsilon_{sh}=\frac{\upsilon_0+\sqrt{2gR}}{2}$$

$$\upsilon_k=\frac{\upsilon_0-\sqrt{2gR}}{2}$$

Подставим в (1):

$$\upsilon_0^2=\frac{(\upsilon_0-\sqrt{2gR})^2}{4}+\frac{(\upsilon_0+\sqrt{2gR})^2}{4}+4gR$$

$$\upsilon_0^2=\frac{\upsilon_0^2-2\upsilon_0\sqrt{2gR}+2gR}{4}+\frac{\upsilon_0^2+2\upsilon_0\sqrt{2gR}+2gR}{4}+4gR$$

$$\upsilon_0^2=\frac{\upsilon_0^2}{2}+5gR$$

$$\frac{\upsilon_0^2}{2}=5gR$$

$$\upsilon_0^2=10gR$$

$$\upsilon_0=\sqrt{10gR}$$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{10gR}$