Законы сохранения. 10 класс.

В статье содержатся несколько задач на законы сохранения энергии. Эти задачи ориентированы на подготовку к олимпиадам и рассчитаны на ребят 10 класса.

Задача 1.

Шарик на натянутой тонкой нерастяжимой, легкой нити первоначально находится в горизонтальном положении. Длина нити маятника $L=64$ см. На расстоянии $L/2$ под точкой подвеса поместили горизонтальную плиту. На какую высоту поднимется шарик после упругого удара о плиту? Ответ дать в см, округлив до целых. Считать, что $g=10$ м/$c^{2}$.

К задаче 1.

Решение. Запишем закон сохранения энергии для шарика от момента начала движения до момента сразу перед ударом. Получим, что $$m g L=m g\cdot \frac{L}{2}+\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2}$$ откуда скорость шарика перед ударом равна $\upsilon=\sqrt{gL}$. Вектор скорости на рисунке показан синим. При ударе маятника о плиту горизонтальная составляющая скорости не изменится, а вертикальная, сохранив свою величину, изменит направление на противоположное. При этом ниточка ослабнет и на шарик не будет больше действовать горизонтальных сил, то есть его горизонтальная скорость будет сохраняться при последующем движении. В треугольнике $ABC$ острый угол $\angle BAC=30^{\circ}$, тогда  $\angle BCA=\alpha=60^{\circ}$. Его $\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$, и он же — угол между плитой и скоростью шарика до и после удара. Тогда вертикальная проекция скорости шарика после удара равна $$\upsilon_{vert}=\upsilon\cos\alpha=\frac{\sqrt{3gL}}{2}$$. Запишем закон сохранения энергии для шарика от момента сразу после удара до момента, когда он достигнет наивысшей точки. $$\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon_{gor}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot h$$. откуда высота $h$, на которую поднимется маятник, равна $$h=\frac{\upsilon_{vert}^{2}}{2g}=\frac{3}{8}L=24$$ Ответ: 24 см.  

Задача 2.

Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вниз в мишень, находящуюся на расстоянии $h=2$ м от него. Совершив работу $A=0,12$ Дж, пуля застряла в мишени. Какова масса пули, если пружина была сжата перед выстрелом на $\Delta x=2$ см, а её жесткость $k=100$ Н/м? Ответ дать в г, округлив до целых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}$. Решение. Из закона сохранения механической энергии для пули, записанного от момента выстрела до момента вылета пули из ствола: $$\frac{k\cdot \Delta x^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon_0^2}{2}$$ Потенциальная энергия сжатой пружины перешла в кинетическую энергию пули. Записав этот закон также от момента сразу после вылета из ствола до момента прямо перед попаданием в мишень, получим, что $$\frac{m\cdot \upsilon_0^2}{2}+m g h=\frac{m\cdot \upsilon_1^2}{2},$$ где $\upsilon_0$ и $\upsilon_1$ — скорости летящей пули соответственно на высоте $h$ и непосредственно перед мишенью. Кинетическая энергия пули перед попаданием в мишень равна сумме первоначальной кинетической плюс потенциальной энергии, так как пуля находилась выше мишени на 2 м. Вся энергия подлетевшей к мишени пули потрачена на механическую работу, так что $A=\frac{m\cdot \upsilon_1^2}{2}$. Решая полученную систему уравнений, находим массу пули: $$m=\frac{2A-k\cdot \Delta x^{2}}{2g\cdot h}=\frac{2\cdot0,12-100\cdot 0,02^{2}}{20\cdot 2}=0,005$$ Ответ: 5 г.

Задача 3.

На горизонтальной поверхности стола протягивают с постоянной скоростью $\upsilon=2$ м/с тонкую ленту шириной $d=50$ см. На ленту въезжает скользящая по столу монета, имея скорость $\frac{4\upsilon}{3}$, направленную перпендикулярно к краю ленты. Монета скользит по ленте и покидает ее со скоростью $\upsilon$ (относительно стола) под неравным нулю углом к краю ленты. Найти коэффициент трения между монетой и лентой. Ответ округлить до сотых. Считать, что $g=10$ м/$c^{2}$.

К задаче 3

  Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с лентой, и найдем величину скорости монеты относительно ленты в начале движения. По теореме Пифагора $$\upsilon_0=\sqrt{\upsilon^2+\left(\frac{4}{3}\upsilon\right)^2}=\frac{5}{3}\upsilon.$$

К задаче 3. В системе отсчета "лента"

В системе отсчета, связанной с лентой, монета движется по прямой и проходит путь, равный $l=\frac{d}{\cos\alpha}$. Так как между монетой и лентой присутствует трение, то монета будет двигаться равнозамедленно с ускорением $a=\mu\cdot g$ Конечную скорость монеты в этой системе отсчета найдем по закону сохранения энергии для монеты или по формуле "без времени": $$l=\frac{\upsilon_{k}^2-\upsilon_0^2}{-2a},$$ откуда с учетом $l$ и $a$, получаем что

$$\upsilon_{k}^2= \upsilon_0^2-\frac{2\mu\cdot g\cdot d}{\cos\alpha}=\frac{25}{9}\upsilon^2-\frac{5}{2}\mu\cdot g\cdot d$$ где $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ и $\cos\alpha=\frac{4}{5}$

К задаче 3. Разложение скорости на проекции.

В системе отсчета, связанной с землей, скорость, с которой монета съезжает с ленты, равна $$\upsilon^2=(\upsilon-\upsilon_{k_x})^2+\upsilon_{k_y}^2,$$ где $\upsilon_{k_x}=\upsilon_{k}\cdot\sin\alpha=\frac{3}{5}\upsilon_{k}$ и $\upsilon_{k_y}=\upsilon_{k}\cdot\cos\alpha=\frac{4}{5}\upsilon_{k}.$ Решая систему уравнений $$\upsilon^2=(\upsilon-\frac{3}{5}\upsilon_{k})^2+\left(\frac{4}{5}\upsilon_{k}\right)^2$$ $$\upsilon^2=\upsilon^2-\frac{6}{5}\upsilon\upsilon_{k}+\frac{9}{25}\upsilon_k^2+\frac{16}{25}\upsilon_{k}^2$$ $$\frac{6}{5}\upsilon\upsilon_{k}=\upsilon_k^2$$ Получим, что $\upsilon_{k}=\frac{6}{5}\upsilon$, и окончательно

$$\frac{5}{2}\mu\cdot g\cdot d=\frac{25}{9}\upsilon^2-\upsilon_k^2$$ $$\mu=\frac{602\upsilon^2}{1125g\cdot d}=\frac{602\cdot 2^2}{1125\cdot 10\cdot0,5}\approx 0,43$$ Ответ: 0,43

Задача 4.

В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаковые ёмкости для воды, расположенные на вышках высотой $H$. Емкости — это открытые сверху кубические баки объёмом $V$, стоящие на вышках. Один из пожарных стал заполнять бак при помощи насоса водой из большого водоёма, находящегося на уровне земли, из брандспойта, попадая струёй воды, направленной снизу вверх, прямо в верхнюю, открытую часть бака. Другой пожарный проложил от насоса до верхней части бака трубу и подавал в неё воду с той же скоростью, что и первый пожарный. Оба заполнили баки за одинаковое время. Во сколько раз минимальные затраты энергии на заполнение баков во втором случае больше, чем в первом? Потерями энергии в насосах и из-за трения в трубах и о воздух пренебречь. Ответ округлить до целых. Решение. Поскольку потерь энергии нет, механическая энергия при подъеме струи воды наверх сохраняется. Запишем закон сохранения энергии для всего объема поднятой воды в первом случае, когда струя воды с плотностью $\rho$ для попадания в бак должна подняться с уровня земли на высоту, как минимум равную $H+\sqrt{3}{V}$. Для этого воде нужно сообщить кинетическую энергию $$E_k=\frac{\rho\cdot V\cdot U^2}{2}$$ (здесь $U$ — скорость воды на выходе из брандспойта). Вся она перейдет в потенциальную, равную $$E_1=E_p=\rho\cdot V\cdot g\cdot (H+\sqrt{3}{\upsilon}).$$ Во втором случае вода обладает одинаковой кинетической энергией и на входе в брандспойт, и на выходе из него (времена заполнения баков и скорости воды на выходе из брандспойта и на входе в трубу одинаковы). Пренебрегая трением, мы можем записать с учётом первого соотношения минимальные затраты энергии. Они равны $$E_2=\rho\cdot V\cdot g\cdot (H+\sqrt[3]{\upsilon})+\frac{ \rho\cdot V\cdot U^2}{2}=2E_1$$ Таким образом, во втором случае минимальные затраты энергии в два раза больше.  

Задача 5.

Ящик массой $m=100$ кг начинают тянуть с помощью пружины, имеющей жесткость $k=10$ кН/м, наклоненной под углом $\alpha=80^{\circ}$ к горизонту. Коэффициент трения между ящиком и полом $\mu=0,5$. Какую наименьшую работу нужно совершить внешней силой, приложенной к концу пружины, чтобы передвинуть ящик на расстояние $S=1$ м по прямой? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}$, и изначально пружина не деформирована, а при движении ящик движется равномерно.

К задаче 5

Решение. Работа внешней силы складывается из двух. Сначала надо растянуть пружину до момента начала движения ящика, затем переместить ящик на расстояние$S$. По третьему закону Ньютона внешняя сила, действующая на пружину, равна по величине силе, с которой пружинка действует на ящик, то есть силе упругости пружины. Найдем растяжение пружины $\Delta x_0$ в момент начала движения ящика. Для этого напишем второй закон Ньютона для ящика в проекции на горизонтальную и вертикальную оси и учтём, что в момент начала движения действующая на него сила трения — это сила трения скольжения.

$$\Bigg\{ \begin{matrix} y: N-m\cdot g+k\cdot \Delta x_0\cdot \sin\alpha=0 \\ x: -\mu\cdot N+ k\cdot \Delta x_0\cdot \cos\alpha=0 \end{matrix}$$

Выражая $N$ из второго уравнения системы и подставляя его в первое, получаем $$\Delta x_0=\frac{\mu  m g}{k (\mu \sin\alpha+\cos\alpha)}$$ Работа внешней силы равна $$A=\frac{k (\Delta x_0)^2}{2}+ k \Delta x_0 S\cos\alpha$$ Подставляя найденные нами величины, имеем $$A=\frac{(\mu m g)^2}{2k (\mu\sin\alpha+\cos\alpha)^2}+\frac{\mu m g S\cdot \cos\alpha}{\mu\sin\alpha+\cos\alpha }\approx158$$ Ответ: 158 Дж.