Закон сохранения импульса для двух частиц

Задача 1.

После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, а угол между их направлениями разлета $\Theta=60^{\circ}$. Найти отношение масс частиц $\frac{m_1}{m_2}$

Решение. Поскольку частицы разлетелись симметрично, значит, под углом $30^{\circ}$ к первоначальному направлению. Запишем закон сохранения импульса на ось, перпендикулярную начальному направлению.

$$m_1\upsilon_1\sin 30^{\circ}=m_2\upsilon_2\sin 30^{\circ}$$

$$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2$$

И в проекции на ось, совпадающую с первоначальным направлением:

$$m_1\upsilon=m_1\upsilon_1\cos 30^{\circ}+m_2\upsilon_2\cos 30^{\circ}$$

$$m_1\upsilon=\cos 30^{\circ}(m_1\upsilon_1+m_1\upsilon_1)$$

$$\upsilon=\upsilon_1\sqrt{3}$$

Еще понадобится закон сохранения энергии:

$$\frac{m_1\upsilon^2}{2}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}$$

$$ m_1\upsilon^2= m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2$$

$$m_1\upsilon^2=m_1\frac{\upsilon^2}{3}+m_2\frac{m_1^2}{m_2^2}\cdot \frac{\upsilon^2}{3}$$

$$1=\frac{1}{3}+\frac{m_1}{m_2}\cdot \frac{1}{3}$$

$$\frac{m_1}{m_2}=2$$

Ответ: $\frac{m_1}{m_2}=2$

Задача 2.

Неподвижное ядро изотопа радона ${}_{86}^{220}Rn$ распадается с испусканием $\alpha$-частицы. При этом ядро, образовавшееся в результате распада, и $\alpha$-частица движутся в противоположных направлениях. Определите скорость образовавшегося ядра, если скорость $\alpha$-частицы $\upsilon_{\alpha}=1,6\cdot 10^7$ м/с.

Решение. По закону сохранения импульса

$$\upsilon_{\alpha}m_{\alpha}=\upsilon m$$

$$\upsilon=\frac{\upsilon_{\alpha}m_{\alpha}}{m}=\frac{1,6\cdot10^7\cdot 4}{216}=2,96\cdot 10^5$$

Ответ: $\upsilon=2,96\cdot 10^5$ м/с