Задачник Добродеева, сохранение энергии - 3

Задача 7.9.

На пути тела, движущегося по горизонтальной поверхности, находится незакрепленная горка высотой $H = 2$ м. Масса горки в $n = 5$ раз больше массы тела. При какой минимальной начальной скорости $\upsilon_0$ тело преодолеет горку? Считать, что тело движется, не отрываясь от горки (рис. 7.1). Трением пренебречь.

Решение. Когда тело въедет на горку, оба приобретут некие скорости. Если скорость тела минимальна при наезде, то оно сможет забраться на горку (приобретет потенциальную энергию $mgh$) и скорость тела станет равной скорости горки (это вот условие минимальной начальной скорости).

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{5m\upsilon^2}{2}+mgh$$

Упростим:

$$\upsilon_0^2=\upsilon^2+5\upsilon^2+2gh$$

Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon_0=6m\upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{\upsilon_0}{6}$$

Подставим в ЗСЭ:

$$\upsilon_0^2=\frac{\upsilon_0^2}{36}+5\frac{\upsilon_0^2}{36}+2gh$$

Тогда

$$\frac{5}{6}\upsilon_0^2=2gh$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{12gh}{5}}=\sqrt{48}=6,93$$

Ответ: 6,9 м/с

Задача 7.10.

Тело массы $m = 1$ кг скользит без трения по гладкой горизонтальной поверхности и въезжает на подвижную горку массы $M = 5$ кг. Высота горки $H = 1,2$ м. Трение между горкой и основанием отсутствует. Найти конечные скорости тела $\upsilon$ и горки $\upsilon_g$, если начальная скорость $\upsilon_0 = 5$ м/с, а горка первоначально покоится.

Решение. Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon_x^2}{2}+\frac{5m\upsilon_g^2}{2}$$

Если воспользоваться решением предыдущей задачи, а именно, законом сохранения импульса, то проверка показывает, что «въехать на горку и приобрести ее же скорость» в данном случае не получится: не хватит энергии забраться на высоту $h$. Таким образом, в уравнении ЗСЭ отсутствует слагаемое $mgh$, и мы знаем, что тело скатится обратно.

$$\upsilon_0^2=\upsilon_x^2+5\upsilon_g^2$$

Дополним законом сохранения импульса:

$$m\upsilon_0=-m\upsilon_x+5m\upsilon_g$$

Перепишем так оба закона:

$$\upsilon_0^2-\upsilon_x^2=5\upsilon_g^2$$

$$\upsilon_0+\upsilon_x=5\upsilon_g$$

Теперь очень удобно делить уравнения друг на друга:

$$\upsilon_0-\upsilon_x=\upsilon_g$$

Последние два складываем и получаем:

$$2\upsilon_0=6\upsilon_g$$

$$\upsilon_g=\frac{\upsilon_0}{3}=1,67$$

$$\upsilon_x=\frac{2\upsilon_0}{3}=3,33$$

Ответ: скорость горки 1,67 м/с, скорость тела 2,33 м/с.

Задача 7.11.

Тело соскальзывает с вершины гладкой горки, имеющей горизонтальный трамплин. Высота горки $H$. При какой высоте $h$ трамплина тело пролетит  наибольшее расстояние по горизонтали (рис.)?

Рисунок к задаче взят из задачника Добродеева.

Решение. Запишем ЗСЭ:

$$mgH=mgh+\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Или

$$g(H-h)= \frac{\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=2g(H-h)$$

Движение по горизонтали будет происходить с постоянной скоростью схода с трамплина $\upsilon$, так как трамплин горизонтальный. Поэтому, чтобы улететь как можно дальше, произведение этой скорости на время должно быть максимально. Найдем время:

$$h=\frac{gt^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Тогда

$$L=\upsilon t=\sqrt{\frac{2g(H-h)\cdot 2h}{g}}=2\sqrt{h(H-h)}$$

Под корнем – парабола ветвями вниз, у которой максимум в вершине:

$$h_{max}=\frac{-b}{2a}=\frac{-H}{-2}=0,5H$$

Ответ: $h=\frac{H}{2}$.

Задача 7.12.

Пуля, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon = 40$ м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной $l = 4$ м, и застревает в нем. Определить угол $\alpha$, на который отклонился брусок, если масса пули $m_1 = 20$ г, а бруска - $m_2 = 5$ кг.

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

$$m_1\upsilon_0=(m_1+m_2)\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\frac{ m_1\upsilon_0}{m_1+m_2}$$

По закону сохранения энергии вся конструкция (брусок с застрявшей пулей) поднимется на высоту $H$:

$$\frac{(m_1+m_2)\upsilon_x^2}{2}=(m_1+m_2)gH$$

$$H=\frac{\upsilon_x^2}{2g}$$

Давайте найдем синус угла отклонения:

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{L^2-(L-H)^2}}{L}=\frac{\sqrt{2LH-H^2}}{L}$$

Давайте пренебрежем величиной $H^2$:

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{2LH}}{L}=\sqrt{\frac{2H}{L}}$$

$$H=\frac{m_1^2\upsilon_0^2}{2g(m_1+m_2)^2}$$

Наконец,

$$\sin \alpha=\sqrt{\frac{2H}{L}}=\frac{m_1\upsilon_0}{m_1+m_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{gL}}$$

Думаю, угол будет ничтожным, глядя на массы.

Ответ: $\sin \alpha=\frac{m_1\upsilon_0}{m_1+m_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{gL}}=1,43^{\circ}$