Задачник Добродеева, сохранение энергии - 2

Задача 7.5.

Санки съезжают с горы высотой $H$ и углом наклона $\alpha$ и движутся далее по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем пути санок одинаков и равен $\mu$. Определить путь $s$, который пройдут санки по горизонтальному участку до полной остановки.

Решение. Составим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия санок идет на покрытие работы против силы трения на обоих участках: наклонном и горизонтальном. Длина наклонного участка

$$l=\frac{H}{\sin \alpha}$$

Закон сохранения энергии:

$$mgH=\mu m g \cos\alpha\cdot \frac{H}{\sin \alpha}+\mu m g s$$

$$H\left(1-\mu \operatorname{ctg}\alpha\right)=\mu s$$

$$S=\frac{H}{\mu}\cdot \left(1-\mu \operatorname{ctg}\alpha\right)$$

Ответ: $S=\frac{H}{\mu}\cdot \left(1-\mu \operatorname{ctg}\alpha\right)$

Задача 7.6.

Неупругие шары массы $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 2$ кг, двигаются навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_1 = 1$ м/с и $\upsilon_2 = 2$ м/с. Найти изменение кинетической энергии $\Delta K$ системы при ударе.

 Решение. Запишем сначала закон сохранения импульса:

$$m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2=(m_1+m_2)\upsilon_x$$

Откуда

$$\upsilon_x=\frac{ m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}=-1$$

Определим первоначальную кинетическую энергию системы:

$$K_1=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=4,5$$

Теперь энергию системы после удара:

$$K_2=\frac{(m_1+m_2)\upsilon_x^2}{2}=1,5$$

Таким образом,

$$\Delta K=K_2-K_1=-3$$

Ответ: -3 Дж.

Задача 7.7.

Шайбу толкнули вверх по шероховатой наклонной плоскости с углом $\alpha = 30^{\circ}$ при основании с начальной скоростью $\upsilon_0 = 4$ м/с. Пройдя расстояние $s = 1$ м, шайба остановилась. Соскользнет ли она вниз?

 Решение. С помощью закона сохранения энергии найдем коэффициент трения:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=mgH+\mu m g \cos \alpha \cdot s$$

$$\frac{\upsilon_0^2}{2}-gH=\mu  g \cos \alpha \cdot s$$

$$\mu=\frac{\frac{\upsilon_0^2}{2}-gH }{ g \cos \alpha s }=\frac{\frac{4^2}{2}-10\cdot 0,5 }{ 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=0,346$$

Здесь учтено, что $H=s \sin \alpha=0,5s=0,5$ м.

Шайба соскользнет, если сила трения покоя станет равной силе трения скольжения:

$$mg\sin \alpha \geqslant \mu m g \cos \alpha$$

$$\sin \alpha \geqslant \mu \cos \alpha$$

$$0,5\geqslant 0,346\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0,299$$

Это неравенство выполнено, так что да, соскользнет.

Ответ: да.

Задача 7.8.

Человек массой $M = 80$ кг, стоящий на коньках, бросает в горизонтальном направлении камень массы $m = 1,5$ кг и откатывается при этом на расстояние $l = 2$ м. Коэффициент трения коньков о лед $\mu = 0,01$. Найти скорость камня относительно человека сразу же после броска.

Решение. Кинетическую энергию человека (а значит, и его скорость) определим через работу против силы трения:

$$\frac{M\upsilon_{chel}^2}{2}=\mu M g l$$

$$ \upsilon_{chel}^2=2\mu  g l=2\cdot 0,01\cdot 10\cdot 2=0,4$$

$$\upsilon_{chel}=\sqrt{0,4}=0,632$$

Теперь по закону сохранения импульса найдем скорость камня относительно льда:

$$M\upsilon_{chel}=m\upsilon_k$$

$$\upsilon_k=\frac{ M\upsilon_{chel}}{m}=\frac{80\cdot 0,632}{1,5}=33,73$$

А относительно человека скорость камня будет равна

$$\upsilon_{k_{otn}}=\upsilon_k+\upsilon_{chel}=33,73+0,632=34,4$$

Ответ: 34,4 м/с.