Задачник Добродеева, сохранение энергии - 1

Задача 7.1.

Мяч падает вертикально с высоты $Н = 7,5$ м на пол. Какую начальную скорость $\upsilon_0$ нужно сообщить мячу, чтобы после двух ударов о пол он поднялся до первоначальной высоты, если при каждом ударе мяч теряет $\eta = 40$ % энергии?

Решение. Так как мяч теряет по 40% энергии при каждом ударе, значит, при нем остается 60%. Таким образом, если первоначальная энергия $\left(\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgH\right)$, то после первого отскока $0,6\cdot\left(\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgH\right)$, а после второго

$0,6\cdot 0,6\cdot \left(\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgH\right)$. И эта энергия позволила мячу забраться на высоту $h$:

$$0,6\cdot 0,6\cdot \left(\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgH\right)=mgh$$

$$mgH-0,36mgH=\frac{0,36m\upsilon_0^2}{2}$$

$$0,64mgH=0,18m\upsilon_0^2$$

$$\upsilon_0=\frac{8}{3\sqrt{2}}\sqrt{gH}=\frac{8}{3\sqrt{2}}\sqrt{75}=16,33$$

Ответ: $\upsilon_0=16,33$ м/с

Задача 7.2.

Между двумя брусками массы $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 4$ кг сжата пружина до длины $l = 7$ см. Пружина удерживается в состоянии сжатия при помощи нити. Жесткость пружины $k = 48$ Н/м, начальная длина $l_0 = 15$ см. Нить пережигают. С какими скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ будут двигаться бруски после разлета? Трение и массу пружины не учитывать.

Решение. Во-первых, просится закон сохранения энергии:

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{kx^2}{2}$$

Во вторых, закон сохранения импульса (пружина действует одно и то же время на шары, с одной и той же силой – их импульсы равны):

$$ m_1\upsilon_1= m_2\upsilon_2$$

Выражаем отсюда $\upsilon_2$  и подставляем в ЗСЭ:

$$ m_1\upsilon_1^2+\frac{m_1^2}{m_2}\upsilon_1^2=kx^2$$

$$\upsilon_1^2=\frac{kx^2}{m_1+\frac{m_1^2}{m_2}}=\frac{48\cdot 0,08^2}{2+\frac{2^2}{4}}=0,1024$$

$$\upsilon_1=0,32$$

$$\upsilon_2=\frac{m_1}{m_2}\upsilon_1=0,5\upsilon_1=0,16$$

Ответ: $\upsilon_1=0,32$ м/с; $\upsilon_2=0,16$ м/с.

Задача 7.3.

Санки, движущиеся по горизонтальному льду со скоростью $\upsilon$, въезжают на асфальт. Считая, что длина полозьев санок равна $l$, а коэффициент их трения по асфальту равен $\mu$, найти путь передка санок $s$, пройденный ими по асфальту, при условии, что $s > l$. Трением санок о лед пренебречь и считать, что масса санок распределена равномерно по длине полозьев.

Решение. По закону сохранения энергии

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{\mu mgS_1}{2}+\mu mg S_2$$

Здесь $S_1=l$. Так как санки постепенно переползают на асфальт, пока передок не уйдет на $l$, то при таком переползании коэффициент трения равен $0,5\mu$ - сначала санки полностью на льду, а потом полностью на асфальте. Затем санки еще $S_2$ пройдут по асфальту – тут уже полный коэффициент трения. Ищем $s=S_1+S_2$.

$$ m\upsilon^2=\mu m g l+2\mu m g S_2$$

$$S_2=\frac{\upsilon^2}{2\mu g}-\frac{l}{2}$$

$$s=S_2+l=\frac{\upsilon^2}{2\mu g}-\frac{l}{2}+l=\frac{\upsilon^2}{2\mu g}+\frac{l}{2}$$

Ответ: $s=\frac{\upsilon^2}{2\mu g}+\frac{l}{2}$.

Задача 7.4.

Конькобежец, разогнавшись до скорости $\upsilon = 27$ км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту $Н$ от начального уровня въедет конькобежец, если подъем горы составляет $h = 0,5$ м на каждые $s = 10$ м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед $\mu = 0,02$?

Решение. Закон сохранения энергии: часть энергии потратим на трение, а часть перейдет в потенциальную:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgH+A_{tr}$$

Распишем силу трения:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgH+\mu m g \cos \alpha\cdot l$$

Сократим на массу:

$$\frac{\upsilon^2}{2}=gH+\mu g \cos \alpha\cdot l$$

Выразим длину горки через высоту:

$$\frac{\upsilon^2}{2}=gH+\mu g \cos \alpha\cdot \frac{H}{\sin \alpha}$$

$$\frac{\upsilon^2}{2}=gH+\mu g \cdot \frac{H}{\operatorname{tg}\alpha }$$

По условию $\operatorname{tg}\alpha=0,05$.

Выносим $H$ за скобку:

$$H\left(2g+\frac{2\mu g}{\operatorname{tg}\alpha}\right)=\upsilon^2$$

$$H=\frac{\upsilon^2}{2g+\frac{2\mu g}{\operatorname{tg}\alpha}}=\frac{7,5^2}{20+\frac{0,4}{0,05}}=\frac{56,25}{28}=2$$

Ответ: 2 м.