Задачи о бруске и шайбе

Пара интересных задач на трение. Из задачника 3800 задач Турчиной.

Задача 1.

На наклонной плоскости лежит брусок, соединенный пружиной с неподвижной опорой. Из положения, когда пружина недеформирована, брусок без начальной скорости отпускают, и он начинает скользить вниз. Определить максимальное растяжение пружины. Масса бруска $m = 0,5$ кг, жесткость пружины $k = 120$ Н/м, угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 45^{\circ}$, коэффициент трения бруска о плоскость $\mu = 0,5$.

К задаче 1

Решение. Брусок начинает движение вниз, растягивая пружину. Сила упругости зависит от растяжения пружины – то есть, она переменная. После достижения максимального растяжения пружины брусок двинется вверх – значит, сила трения поменяет направление. Поэтому решать будем через закон сохранения энергии. Пусть пружина растянулась максимально на $x_0$. Это значит, что вначале брусок располагался выше, чем в конце, на величину $x_0\sin \alpha$. Уровень нижнего положения бруска примем за нулевой уровень потенциальной энергии. Сначала энергия системы – это потенциальная энергия бруска, а потом – потенциальная энергия растянутой пружины плюс то, что было потрачено на работу против силы трения:

$$mg x_0\sin \alpha=\frac{kx_0^2}{2}+F_{tr}x_0$$

$$mg \sin \alpha=\frac{kx_0}{2}+\mu N$$

$$N=mg \cos \alpha$$

$$mg \sin \alpha=\frac{kx_0}{2}+\mu mg \cos \alpha $$

$$g \sin \alpha=\frac{kx_0}{2m}+\mu g \cos \alpha $$

$$x_0=\frac{mg(\sin \alpha -\mu  \cos \alpha)2 }{k}=\frac{10(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{120}=0,0295$$

Ответ: 2,95 см

Задача 2.

Вдоль невесомого упругого шнура соскальзывает железная шайба. Сила трения между шнуром и шайбой постоянна и  равна $F$. Определить количество теплоты $Q$, выделившейся при соскальзывании шайбы. Длина шнура в недеформированном состоянии $l_0$. Жесткость шнура $k$.

К задаче 2

Решение: пусть в нижнем положении (когда шайба спустилась) шнур растянут на $x$. Тогда, если взять нижнее положение шайбы за нулевой уровень потенциальной энергии, то вначале ее энергия равна $mg(l_0+x)$. В нижнем положении шайбы у системы есть запас потенциальной энергии упругой деформации $\frac{kx^2}{2}$, да еще тепло выделилось - $Q$. Тогда

$$mg=kx=F$$

$$x=\frac{mg}{k}$$

По закону сохранения энергии

$$ mg(l_0+x)= \frac{kx^2}{2}+Q$$

$$mgl_0+mg\cdot \frac{mg}{k}= \frac{k}{2}\cdot \frac{m^2g^2}{k^2}+Q$$

$$Fl_0+\frac{F^2}{k}-\frac{F^2}{2k}=Q$$

$$Q=F\left(l_0+\frac{F}{2k}\right)$$

Ответ: $Q=F\left(l_0+\frac{F}{2k}\right)$